Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62276 / 39773
↖ ↑ ↗
← N 57.567415°
W  8.953857°		 ← 163.77 m → N 57.567415°
W  8.951111°		 →
↑
163.80 m
↓
↑
163.80 m
↓
N 57.565942°
W  8.953857°		 ← 163.77 m →
26 825 m²		 N 57.565942°
W  8.951111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475131988525391 y=0.303447723388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475131988525391 × 217)
    floor (0.475131988525391 × 131072)
    floor (62276.5)     		tx = 62276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303447723388672 × 217)
    floor (0.303447723388672 × 131072)
    floor (39773.5)     		ty = 39773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62276 / 39773 ti = "17/62276/39773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62276/39773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62276 ÷ 217
    62276 ÷ 131072     		x = 0.475128173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39773 ÷ 217
    39773 ÷ 131072     		y = 0.303443908691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.04974365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15627429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303443908691406 × 2 - 1) × π
    0.393112182617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.23499834491151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15627429} λ = -0.15627429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23499834491151))-π/2
    2×atan(3.43837282988911)-π/2
    2×1.2877686281015-π/2
    2.575537256203-1.57079632675     		φ = 1.00474093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15627429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.953857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00474093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.567415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62276 KachelY 39773 -0.15627429 1.00474093 -8.953857 57.567415
    Oben rechts KachelX + 1 62277 KachelY 39773 -0.15622636 1.00474093 -8.951111 57.567415
    Unten links KachelX 62276 KachelY + 1 39774 -0.15627429 1.00471522 -8.953857 57.565942
    Unten rechts KachelX + 1 62277 KachelY + 1 39774 -0.15622636 1.00471522 -8.951111 57.565942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00474093-1.00471522) × R
    2.57100000000676e-05 × 6371000     		dl = 163.798410000431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00474093-1.00471522) × R
    2.57100000000676e-05 × 6371000     		dr = 163.798410000431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15627429--0.15622636) × cos(1.00474093) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.536306893757854 × 6371000     		do = 163.767761780898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15627429--0.15622636) × cos(1.00471522) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.53632859341332 × 6371000     		du = 163.774388031741m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00474093)-sin(1.00471522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536306893757854-0.53632859341332)×R²
    abs(-0.15622636--0.15627429)×2.16996554658344e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16996554658344e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16996554658344e-05×40589641000000     		ar = 26825.4416751051m²