Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62276 / 39772
↖ ↑ ↗
← N 57.568888°
W  8.953857°		 ← 163.76 m → N 57.568888°
W  8.951111°		 →
↑
163.80 m
↓
↑
163.80 m
↓
N 57.567415°
W  8.953857°		 ← 163.77 m →
26 824 m²		 N 57.567415°
W  8.951111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39772 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475131988525391 y=0.303440093994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475131988525391 × 217)
    floor (0.475131988525391 × 131072)
    floor (62276.5)     		tx = 62276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303440093994141 × 217)
    floor (0.303440093994141 × 131072)
    floor (39772.5)     		ty = 39772
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62276 / 39772 ti = "17/62276/39772"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62276/39772.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62276 ÷ 217
    62276 ÷ 131072     		x = 0.475128173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39772 ÷ 217
    39772 ÷ 131072     		y = 0.303436279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475128173828125 × 2 - 1) × π
    -0.04974365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15627429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303436279296875 × 2 - 1) × π
    0.39312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23504628181113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15627429} λ = -0.15627429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23504628181113))-π/2
    2×atan(3.43853765877297)-π/2
    2×1.28778148228633-π/2
    2.57556296457267-1.57079632675     		φ = 1.00476664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15627429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.953857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00476664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.568888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62276 KachelY 39772 -0.15627429 1.00476664 -8.953857 57.568888
    Oben rechts KachelX + 1 62277 KachelY 39772 -0.15622636 1.00476664 -8.951111 57.568888
    Unten links KachelX 62276 KachelY + 1 39773 -0.15627429 1.00474093 -8.953857 57.567415
    Unten rechts KachelX + 1 62277 KachelY + 1 39773 -0.15622636 1.00474093 -8.951111 57.567415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00476664-1.00474093) × R
    2.57099999998456e-05 × 6371000     		dl = 163.798409999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00476664-1.00474093) × R
    2.57099999998456e-05 × 6371000     		dr = 163.798409999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15627429--0.15622636) × cos(1.00476664) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.536285193747887 × 6371000     		do = 163.761135421804m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15627429--0.15622636) × cos(1.00474093) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.536306893757854 × 6371000     		du = 163.767761780898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00476664)-sin(1.00474093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536285193747887-0.536306893757854)×R²
    abs(-0.15622636--0.15627429)×2.17000099667075e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17000099667075e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17000099667075e-05×40589641000000     		ar = 26824.3562968386m²