Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62274 / 39746
↖ ↑ ↗
← N 57.607164°
W  8.959351°		 ← 163.62 m → N 57.607164°
W  8.956604°		 →
↑
163.61 m
↓
↑
163.61 m
↓
N 57.605693°
W  8.959351°		 ← 163.63 m →
26 770 m²		 N 57.605693°
W  8.956604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475116729736328 y=0.303241729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475116729736328 × 217)
    floor (0.475116729736328 × 131072)
    floor (62274.5)     		tx = 62274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303241729736328 × 217)
    floor (0.303241729736328 × 131072)
    floor (39746.5)     		ty = 39746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62274 / 39746 ti = "17/62274/39746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62274/39746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62274 ÷ 217
    62274 ÷ 131072     		x = 0.475112915039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39746 ÷ 217
    39746 ÷ 131072     		y = 0.303237915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475112915039062 × 2 - 1) × π
    -0.049774169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15637017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303237915039062 × 2 - 1) × π
    0.393524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23629264120125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15637017} λ = -0.15637017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23629264120125))-π/2
    2×atan(3.44282598431455)-π/2
    2×1.28811550858198-π/2
    2.57623101716395-1.57079632675     		φ = 1.00543469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15637017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.959351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00543469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.607164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62274 KachelY 39746 -0.15637017 1.00543469 -8.959351 57.607164
    Oben rechts KachelX + 1 62275 KachelY 39746 -0.15632223 1.00543469 -8.956604 57.607164
    Unten links KachelX 62274 KachelY + 1 39747 -0.15637017 1.00540901 -8.959351 57.605693
    Unten rechts KachelX + 1 62275 KachelY + 1 39747 -0.15632223 1.00540901 -8.956604 57.605693
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00543469-1.00540901) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dl = 163.607280000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00543469-1.00540901) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dr = 163.607280000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15637017--0.15632223) × cos(1.00543469) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535721215307836 × 6371000     		do = 163.623048619083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15637017--0.15632223) × cos(1.00540901) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535742899192713 × 6371000     		du = 163.629671435667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00543469)-sin(1.00540901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535721215307836-0.535742899192713)×R²
    abs(-0.15632223--0.15637017)×2.16838848771106e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16838848771106e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16838848771106e-05×40589641000000     		ar = 26770.4637020719m²