Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62273 / 39739
↖ ↑ ↗
← N 57.617463°
W  8.962097°		 ← 163.54 m → N 57.617463°
W  8.959351°		 →
↑
163.54 m
↓
↑
163.54 m
↓
N 57.615992°
W  8.962097°		 ← 163.55 m →
26 747 m²		 N 57.615992°
W  8.959351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475109100341797 y=0.303188323974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475109100341797 × 217)
    floor (0.475109100341797 × 131072)
    floor (62273.5)     		tx = 62273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303188323974609 × 217)
    floor (0.303188323974609 × 131072)
    floor (39739.5)     		ty = 39739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62273 / 39739 ti = "17/62273/39739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62273/39739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62273 ÷ 217
    62273 ÷ 131072     		x = 0.475105285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39739 ÷ 217
    39739 ÷ 131072     		y = 0.303184509277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475105285644531 × 2 - 1) × π
    -0.0497894287109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15641810
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303184509277344 × 2 - 1) × π
    0.393630981445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.23662819949859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15641810} λ = -0.15641810}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23662819949859))-π/2
    2×atan(3.44398144699158)-π/2
    2×1.2882053786982-π/2
    2.5764107573964-1.57079632675     		φ = 1.00561443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15641810} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.962097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00561443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.617463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62273 KachelY 39739 -0.15641810 1.00561443 -8.962097 57.617463
    Oben rechts KachelX + 1 62274 KachelY 39739 -0.15637017 1.00561443 -8.959351 57.617463
    Unten links KachelX 62273 KachelY + 1 39740 -0.15641810 1.00558876 -8.962097 57.615992
    Unten rechts KachelX + 1 62274 KachelY + 1 39740 -0.15637017 1.00558876 -8.959351 57.615992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00561443-1.00558876) × R
    2.56700000000887e-05 × 6371000     		dl = 163.543570000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00561443-1.00558876) × R
    2.56700000000887e-05 × 6371000     		dr = 163.543570000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15641810--0.15637017) × cos(1.00561443) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.535569435112257 × 6371000     		do = 163.542569911837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15641810--0.15637017) × cos(1.00558876) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.5355911130248 × 6371000     		du = 163.549189523218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00561443)-sin(1.00558876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535569435112257-0.5355911130248)×R²
    abs(-0.15637017--0.15641810)×2.16779125433719e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16779125433719e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16779125433719e-05×40589641000000     		ar = 26746.8770294046m²