Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62272 / 75457
↖ ↑ ↗
← S 26.276177°
W  8.964844°		 ← 273.87 m → S 26.276177°
W  8.962097°		 →
↑
273.83 m
↓
↑
273.83 m
↓
S 26.278639°
W  8.964844°		 ← 273.86 m →
74 991 m²		 S 26.278639°
W  8.962097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475101470947266 y=0.575695037841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475101470947266 × 217)
    floor (0.475101470947266 × 131072)
    floor (62272.5)     		tx = 62272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575695037841797 × 217)
    floor (0.575695037841797 × 131072)
    floor (75457.5)     		ty = 75457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62272 / 75457 ti = "17/62272/75457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62272/75457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62272 ÷ 217
    62272 ÷ 131072     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75457 ÷ 217
    75457 ÷ 131072     		y = 0.575691223144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.575691223144531 × 2 - 1) × π
    -0.151382446289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.475581981130577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475581981130577))-π/2
    2×atan(0.621523236393209)-π/2
    2×0.55609526314509-π/2
    1.11219052629018-1.57079632675     		φ = -0.45860580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45860580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.276177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62272 KachelY 75457 -0.15646604 -0.45860580 -8.964844 -26.276177
    Oben rechts KachelX + 1 62273 KachelY 75457 -0.15641810 -0.45860580 -8.962097 -26.276177
    Unten links KachelX 62272 KachelY + 1 75458 -0.15646604 -0.45864878 -8.964844 -26.278639
    Unten rechts KachelX + 1 62273 KachelY + 1 75458 -0.15641810 -0.45864878 -8.962097 -26.278639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45860580--0.45864878) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dl = 273.825579999811m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45860580--0.45864878) × R
    4.29799999999703e-05 × 6371000     		dr = 273.825579999811m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15641810) × cos(-0.45860580) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.896670578905305 × 6371000     		do = 273.86627509836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15641810) × cos(-0.45864878) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.8966515508999 × 6371000     		du = 273.860463455728m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45860580)-sin(-0.45864878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896670578905305-0.8966515508999)×R²
    abs(-0.15641810--0.15646604)×1.90280054058745e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.90280054058745e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.90280054058745e-05×40589641000000     		ar = 74990.795944606m²