Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62272 / 39744
↖ ↑ ↗
← N 57.610107°
W  8.964844°		 ← 163.61 m → N 57.610107°
W  8.962097°		 →
↑
163.61 m
↓
↑
163.61 m
↓
N 57.608636°
W  8.964844°		 ← 163.62 m →
26 768 m²		 N 57.608636°
W  8.962097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475101470947266 y=0.303226470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475101470947266 × 217)
    floor (0.475101470947266 × 131072)
    floor (62272.5)     		tx = 62272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303226470947266 × 217)
    floor (0.303226470947266 × 131072)
    floor (39744.5)     		ty = 39744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62272 / 39744 ti = "17/62272/39744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62272/39744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62272 ÷ 217
    62272 ÷ 131072     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39744 ÷ 217
    39744 ÷ 131072     		y = 0.30322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30322265625 × 2 - 1) × π
    0.3935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23638851500049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23638851500049))-π/2
    2×atan(3.44315607694515)-π/2
    2×1.2881411883566-π/2
    2.5762823767132-1.57079632675     		φ = 1.00548605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00548605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.610107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62272 KachelY 39744 -0.15646604 1.00548605 -8.964844 57.610107
    Oben rechts KachelX + 1 62273 KachelY 39744 -0.15641810 1.00548605 -8.962097 57.610107
    Unten links KachelX 62272 KachelY + 1 39745 -0.15646604 1.00546037 -8.964844 57.608636
    Unten rechts KachelX + 1 62273 KachelY + 1 39745 -0.15641810 1.00546037 -8.962097 57.608636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00548605-1.00546037) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dl = 163.607280000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00548605-1.00546037) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dr = 163.607280000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15641810) × cos(1.00548605) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535677846478232 × 6371000     		do = 163.609802662208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15641810) × cos(1.00546037) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535699531069671 × 6371000     		du = 163.616425694595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00548605)-sin(1.00546037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535677846478232-0.535699531069671)×R²
    abs(-0.15641810--0.15646604)×2.16845914388086e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16845914388086e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16845914388086e-05×40589641000000     		ar = 26768.2965847664m²