Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62272 / 27969
↖ ↑ ↗
← N 71.243472°
W  8.964844°		 ← 98.21 m → N 71.243472°
W  8.962097°		 →
↑
98.18 m
↓
↑
98.18 m
↓
N 71.242589°
W  8.964844°		 ← 98.21 m →
9 642 m²		 N 71.242589°
W  8.962097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475101470947266 y=0.213390350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475101470947266 × 217)
    floor (0.475101470947266 × 131072)
    floor (62272.5)     		tx = 62272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213390350341797 × 217)
    floor (0.213390350341797 × 131072)
    floor (27969.5)     		ty = 27969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62272 / 27969 ti = "17/62272/27969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62272/27969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62272 ÷ 217
    62272 ÷ 131072     		x = 0.47509765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27969 ÷ 217
    27969 ÷ 131072     		y = 0.213386535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47509765625 × 2 - 1) × π
    -0.0498046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15646604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213386535644531 × 2 - 1) × π
    0.573226928710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.80084550802665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15646604} λ = -0.15646604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80084550802665))-π/2
    2×atan(6.05476465290963)-π/2
    2×1.40711474515521-π/2
    2.81422949031043-1.57079632675     		φ = 1.24343316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15646604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.964844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24343316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.243472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62272 KachelY 27969 -0.15646604 1.24343316 -8.964844 71.243472
    Oben rechts KachelX + 1 62273 KachelY 27969 -0.15641810 1.24343316 -8.962097 71.243472
    Unten links KachelX 62272 KachelY + 1 27970 -0.15646604 1.24341775 -8.964844 71.242589
    Unten rechts KachelX + 1 62273 KachelY + 1 27970 -0.15641810 1.24341775 -8.962097 71.242589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24343316-1.24341775) × R
    1.5409999999827e-05 × 6371000     		dl = 98.1771099988975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24343316-1.24341775) × R
    1.5409999999827e-05 × 6371000     		dr = 98.1771099988975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15646604--0.15641810) × cos(1.24343316) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.321547348903738 × 6371000     		do = 98.2088369839549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15646604--0.15641810) × cos(1.24341775) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.321561940494411 × 6371000     		du = 98.2132936313339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24343316)-sin(1.24341775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321547348903738-0.321561940494411)×R²
    abs(-0.15641810--0.15646604)×1.45915906724636e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.45915906724636e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.45915906724636e-05×40589641000000     		ar = 9642.07856206019m²