Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62271 / 39745
↖ ↑ ↗
← N 57.608636°
W  8.967590°		 ← 163.62 m → N 57.608636°
W  8.964844°		 →
↑
163.61 m
↓
↑
163.61 m
↓
N 57.607164°
W  8.967590°		 ← 163.62 m →
26 769 m²		 N 57.607164°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475093841552734 y=0.303234100341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475093841552734 × 217)
    floor (0.475093841552734 × 131072)
    floor (62271.5)     		tx = 62271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303234100341797 × 217)
    floor (0.303234100341797 × 131072)
    floor (39745.5)     		ty = 39745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62271 / 39745 ti = "17/62271/39745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62271/39745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62271 ÷ 217
    62271 ÷ 131072     		x = 0.475090026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39745 ÷ 217
    39745 ÷ 131072     		y = 0.303230285644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475090026855469 × 2 - 1) × π
    -0.0498199462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15651398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303230285644531 × 2 - 1) × π
    0.393539428710938 × 3.1415926535     		Φ = 1.23634057810087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15651398} λ = -0.15651398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23634057810087))-π/2
    2×atan(3.44299102667394)-π/2
    2×1.28812834872916-π/2
    2.57625669745831-1.57079632675     		φ = 1.00546037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15651398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.967590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00546037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.608636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62271 KachelY 39745 -0.15651398 1.00546037 -8.967590 57.608636
    Oben rechts KachelX + 1 62272 KachelY 39745 -0.15646604 1.00546037 -8.964844 57.608636
    Unten links KachelX 62271 KachelY + 1 39746 -0.15651398 1.00543469 -8.967590 57.607164
    Unten rechts KachelX + 1 62272 KachelY + 1 39746 -0.15646604 1.00543469 -8.964844 57.607164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00546037-1.00543469) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dl = 163.607280000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00546037-1.00543469) × R
    2.56800000000279e-05 × 6371000     		dr = 163.607280000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15651398--0.15646604) × cos(1.00546037) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535699531069671 × 6371000     		do = 163.616425694595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15651398--0.15646604) × cos(1.00543469) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535721215307836 × 6371000     		du = 163.623048619083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00546037)-sin(1.00543469))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535699531069671-0.535721215307836)×R²
    abs(-0.15646604--0.15651398)×2.16842381651761e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16842381651761e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16842381651761e-05×40589641000000     		ar = 26769.3801518445m²