Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62271 / 27970
↖ ↑ ↗
← N 71.242589°
W  8.967590°		 ← 98.21 m → N 71.242589°
W  8.964844°		 →
↑
98.24 m
↓
↑
98.24 m
↓
N 71.241706°
W  8.967590°		 ← 98.22 m →
9 649 m²		 N 71.241706°
W  8.964844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475093841552734 y=0.213397979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475093841552734 × 217)
    floor (0.475093841552734 × 131072)
    floor (62271.5)     		tx = 62271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213397979736328 × 217)
    floor (0.213397979736328 × 131072)
    floor (27970.5)     		ty = 27970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62271 / 27970 ti = "17/62271/27970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62271/27970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62271 ÷ 217
    62271 ÷ 131072     		x = 0.475090026855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27970 ÷ 217
    27970 ÷ 131072     		y = 0.213394165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475090026855469 × 2 - 1) × π
    -0.0498199462890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15651398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213394165039062 × 2 - 1) × π
    0.573211669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.80079757112703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15651398} λ = -0.15651398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.80079757112703))-π/2
    2×atan(6.05447441322089)-π/2
    2×1.40710703798888-π/2
    2.81421407597777-1.57079632675     		φ = 1.24341775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15651398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.967590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24341775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.242589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62271 KachelY 27970 -0.15651398 1.24341775 -8.967590 71.242589
    Oben rechts KachelX + 1 62272 KachelY 27970 -0.15646604 1.24341775 -8.964844 71.242589
    Unten links KachelX 62271 KachelY + 1 27971 -0.15651398 1.24340233 -8.967590 71.241706
    Unten rechts KachelX + 1 62272 KachelY + 1 27971 -0.15646604 1.24340233 -8.964844 71.241706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24341775-1.24340233) × R
    1.54200000002103e-05 × 6371000     		dl = 98.2408200013396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24341775-1.24340233) × R
    1.54200000002103e-05 × 6371000     		dr = 98.2408200013396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15651398--0.15646604) × cos(1.24341775) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.321561940494411 × 6371000     		do = 98.2132936313339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15651398--0.15646604) × cos(1.24340233) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.321576541477559 × 6371000     		du = 98.2177531474166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24341775)-sin(1.24340233))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321561940494411-0.321576541477559)×R²
    abs(-0.15646604--0.15651398)×1.46009831480387e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46009831480387e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46009831480387e-05×40589641000000     		ar = 9648.77355493204m²