Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62270 / 38404
↖ ↑ ↗
← N 59.528747°
W  8.970337°		 ← 154.85 m → N 59.528747°
W  8.967590°		 →
↑
154.88 m
↓
↑
154.88 m
↓
N 59.527354°
W  8.970337°		 ← 154.86 m →
23 984 m²		 N 59.527354°
W  8.967590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475086212158203 y=0.293003082275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475086212158203 × 217)
    floor (0.475086212158203 × 131072)
    floor (62270.5)     		tx = 62270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293003082275391 × 217)
    floor (0.293003082275391 × 131072)
    floor (38404.5)     		ty = 38404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62270 / 38404 ti = "17/62270/38404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62270/38404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62270 ÷ 217
    62270 ÷ 131072     		x = 0.475082397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38404 ÷ 217
    38404 ÷ 131072     		y = 0.292999267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475082397460938 × 2 - 1) × π
    -0.049835205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15656191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292999267578125 × 2 - 1) × π
    0.41400146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30062396049136
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15656191} λ = -0.15656191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30062396049136))-π/2
    2×atan(3.67158687819709)-π/2
    2×1.30488448275158-π/2
    2.60976896550316-1.57079632675     		φ = 1.03897264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15656191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.970337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03897264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.528747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62270 KachelY 38404 -0.15656191 1.03897264 -8.970337 59.528747
    Oben rechts KachelX + 1 62271 KachelY 38404 -0.15651398 1.03897264 -8.967590 59.528747
    Unten links KachelX 62270 KachelY + 1 38405 -0.15656191 1.03894833 -8.970337 59.527354
    Unten rechts KachelX + 1 62271 KachelY + 1 38405 -0.15651398 1.03894833 -8.967590 59.527354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03897264-1.03894833) × R
    2.43099999999163e-05 × 6371000     		dl = 154.879009999467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03897264-1.03894833) × R
    2.43099999999163e-05 × 6371000     		dr = 154.879009999467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15656191--0.15651398) × cos(1.03897264) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.50710598953406 × 6371000     		do = 154.850914389284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15656191--0.15651398) × cos(1.03894833) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.507126941777004 × 6371000     		du = 154.857312408723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03897264)-sin(1.03894833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50710598953406-0.507126941777004)×R²
    abs(-0.15651398--0.15656191)×2.09522429441833e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.09522429441833e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.09522429441833e-05×40589641000000     		ar = 23983.6517786511m²