Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62270 / 13506
↖ ↑ ↗
← N 72.070530°
E162.059326°		 ← 188.03 m → N 72.070530°
E162.064819°		 →
↑
188.07 m
↓
↑
188.07 m
↓
N 72.068839°
E162.059326°		 ← 188.05 m →
35 365 m²		 N 72.068839°
E162.064819°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950172424316406 y=0.206092834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950172424316406 × 216)
    floor (0.950172424316406 × 65536)
    floor (62270.5)     		tx = 62270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206092834472656 × 216)
    floor (0.206092834472656 × 65536)
    floor (13506.5)     		ty = 13506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62270 / 13506 ti = "16/62270/13506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62270/13506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62270 ÷ 216
    62270 ÷ 65536     		x = 0.950164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13506 ÷ 216
    13506 ÷ 65536     		y = 0.206085205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950164794921875 × 2 - 1) × π
    0.90032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82846883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206085205078125 × 2 - 1) × π
    0.58782958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84672112096304
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82846883} λ = 2.82846883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84672112096304))-π/2
    2×atan(6.33900059371719)-π/2
    2×1.41433218184268-π/2
    2.82866436368536-1.57079632675     		φ = 1.25786804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82846883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.059326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25786804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.070530°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62270 KachelY 13506 2.82846883 1.25786804 162.059326 72.070530
    Oben rechts KachelX + 1 62271 KachelY 13506 2.82856470 1.25786804 162.064819 72.070530
    Unten links KachelX 62270 KachelY + 1 13507 2.82846883 1.25783852 162.059326 72.068839
    Unten rechts KachelX + 1 62271 KachelY + 1 13507 2.82856470 1.25783852 162.064819 72.068839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25786804-1.25783852) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dl = 188.071920000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25786804-1.25783852) × R
    2.95200000000051e-05 × 6371000     		dr = 188.071920000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82846883-2.82856470) × cos(1.25786804) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307846030357859 × 6371000     		do = 188.028590385625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82846883-2.82856470) × cos(1.25783852) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.307874116620019 × 6371000     		du = 188.045745131057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25786804)-sin(1.25783852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.307846030357859-0.307874116620019)×R²
    abs(2.82856470-2.82846883)×2.80862621597766e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.80862621597766e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.80862621597766e-05×40589641000000     		ar = 35364.5111742373m²