Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62268 / 38406
↖ ↑ ↗
← N 59.525962°
W  8.975830°		 ← 154.90 m → N 59.525962°
W  8.973083°		 →
↑
154.88 m
↓
↑
154.88 m
↓
N 59.524569°
W  8.975830°		 ← 154.90 m →
23 991 m²		 N 59.524569°
W  8.973083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475070953369141 y=0.293018341064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475070953369141 × 217)
    floor (0.475070953369141 × 131072)
    floor (62268.5)     		tx = 62268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293018341064453 × 217)
    floor (0.293018341064453 × 131072)
    floor (38406.5)     		ty = 38406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62268 / 38406 ti = "17/62268/38406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62268/38406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62268 ÷ 217
    62268 ÷ 131072     		x = 0.475067138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38406 ÷ 217
    38406 ÷ 131072     		y = 0.293014526367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475067138671875 × 2 - 1) × π
    -0.04986572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15665779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293014526367188 × 2 - 1) × π
    0.413970947265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30052808669212
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15665779} λ = -0.15665779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30052808669212))-π/2
    2×atan(3.67123488608751)-π/2
    2×1.30486017265824-π/2
    2.60972034531648-1.57079632675     		φ = 1.03892402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15665779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.975830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03892402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.525962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62268 KachelY 38406 -0.15665779 1.03892402 -8.975830 59.525962
    Oben rechts KachelX + 1 62269 KachelY 38406 -0.15660985 1.03892402 -8.973083 59.525962
    Unten links KachelX 62268 KachelY + 1 38407 -0.15665779 1.03889971 -8.975830 59.524569
    Unten rechts KachelX + 1 62269 KachelY + 1 38407 -0.15660985 1.03889971 -8.973083 59.524569
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03892402-1.03889971) × R
    2.43100000001384e-05 × 6371000     		dl = 154.879010000882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03892402-1.03889971) × R
    2.43100000001384e-05 × 6371000     		dr = 154.879010000882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15665779--0.15660985) × cos(1.03892402) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.507147893720248 × 6371000     		do = 154.896020728936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15665779--0.15660985) × cos(1.03889971) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.50716884536378 × 6371000     		du = 154.902419900166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03892402)-sin(1.03889971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507147893720248-0.50716884536378)×R²
    abs(-0.15660985--0.15665779)×2.09516435322188e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09516435322188e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09516435322188e-05×40589641000000     		ar = 23990.6378934891m²