Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62267 / 39027
↖ ↑ ↗
← N 58.649798°
W  8.978576°		 ← 158.87 m → N 58.649798°
W  8.975830°		 →
↑
158.89 m
↓
↑
158.89 m
↓
N 58.648369°
W  8.978576°		 ← 158.88 m →
25 244 m²		 N 58.648369°
W  8.975830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475063323974609 y=0.297756195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475063323974609 × 217)
    floor (0.475063323974609 × 131072)
    floor (62267.5)     		tx = 62267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297756195068359 × 217)
    floor (0.297756195068359 × 131072)
    floor (39027.5)     		ty = 39027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62267 / 39027 ti = "17/62267/39027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62267/39027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62267 ÷ 217
    62267 ÷ 131072     		x = 0.475059509277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39027 ÷ 217
    39027 ÷ 131072     		y = 0.297752380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475059509277344 × 2 - 1) × π
    -0.0498809814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15670572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297752380371094 × 2 - 1) × π
    0.404495239257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.27075927202807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15670572} λ = -0.15670572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27075927202807))-π/2
    2×atan(3.56355724476711)-π/2
    2×1.29721420406506-π/2
    2.59442840813011-1.57079632675     		φ = 1.02363208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15670572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.978576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02363208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.649798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62267 KachelY 39027 -0.15670572 1.02363208 -8.978576 58.649798
    Oben rechts KachelX + 1 62268 KachelY 39027 -0.15665779 1.02363208 -8.975830 58.649798
    Unten links KachelX 62267 KachelY + 1 39028 -0.15670572 1.02360714 -8.978576 58.648369
    Unten rechts KachelX + 1 62268 KachelY + 1 39028 -0.15665779 1.02360714 -8.975830 58.648369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02363208-1.02360714) × R
    2.49400000000843e-05 × 6371000     		dl = 158.892740000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02363208-1.02360714) × R
    2.49400000000843e-05 × 6371000     		dr = 158.892740000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15670572--0.15665779) × cos(1.02363208) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520267581432632 × 6371000     		do = 158.869964809464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15670572--0.15665779) × cos(1.02360714) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.520288880113235 × 6371000     		du = 158.876468617809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02363208)-sin(1.02360714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520267581432632-0.520288880113235)×R²
    abs(-0.15665779--0.15670572)×2.12986806022997e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.12986806022997e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.12986806022997e-05×40589641000000     		ar = 25243.8007176799m²