Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 62267 / 13549
↖ ↑ ↗
← N 71.997672°
E162.042846°		 ← 188.79 m → N 71.997672°
E162.048340°		 →
↑
188.77 m
↓
↑
188.77 m
↓
N 71.995974°
E162.042846°		 ← 188.80 m →
35 639 m²		 N 71.995974°
E162.048340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.950126647949219 y=0.206748962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.950126647949219 × 216)
    floor (0.950126647949219 × 65536)
    floor (62267.5)     		tx = 62267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206748962402344 × 216)
    floor (0.206748962402344 × 65536)
    floor (13549.5)     		ty = 13549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62267 / 13549 ti = "16/62267/13549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62267/13549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62267 ÷ 216
    62267 ÷ 65536     		x = 0.950119018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13549 ÷ 216
    13549 ÷ 65536     		y = 0.206741333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.950119018554688 × 2 - 1) × π
    0.900238037109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.82818120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206741333007812 × 2 - 1) × π
    0.586517333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84259854759572
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82818120} λ = 2.82818120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84259854759572))-π/2
    2×atan(6.31292139234059)-π/2
    2×1.41369637697004-π/2
    2.82739275394008-1.57079632675     		φ = 1.25659643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82818120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 162.042846°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25659643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.997672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62267 KachelY 13549 2.82818120 1.25659643 162.042846 71.997672
    Oben rechts KachelX + 1 62268 KachelY 13549 2.82827708 1.25659643 162.048340 71.997672
    Unten links KachelX 62267 KachelY + 1 13550 2.82818120 1.25656680 162.042846 71.995974
    Unten rechts KachelX + 1 62268 KachelY + 1 13550 2.82827708 1.25656680 162.048340 71.995974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25659643-1.25656680) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dl = 188.772730000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25659643-1.25656680) × R
    2.96300000000027e-05 × 6371000     		dr = 188.772730000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82818120-2.82827708) × cos(1.25659643) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.309055636911752 × 6371000     		do = 188.787093209763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82818120-2.82827708) × cos(1.25656680) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.309083816208608 × 6371000     		du = 188.804306574953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25659643)-sin(1.25656680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.309055636911752-0.309083816208608)×R²
    abs(2.82827708-2.82818120)×2.81792968562788e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.81792968562788e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.81792968562788e-05×40589641000000     		ar = 35639.4796834888m²