Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62266 / 39025
↖ ↑ ↗
← N 58.652656°
W  8.981323°		 ← 158.89 m → N 58.652656°
W  8.978576°		 →
↑
158.89 m
↓
↑
158.89 m
↓
N 58.651227°
W  8.981323°		 ← 158.90 m →
25 247 m²		 N 58.651227°
W  8.978576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475055694580078 y=0.297740936279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475055694580078 × 217)
    floor (0.475055694580078 × 131072)
    floor (62266.5)     		tx = 62266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297740936279297 × 217)
    floor (0.297740936279297 × 131072)
    floor (39025.5)     		ty = 39025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62266 / 39025 ti = "17/62266/39025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62266/39025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62266 ÷ 217
    62266 ÷ 131072     		x = 0.475051879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39025 ÷ 217
    39025 ÷ 131072     		y = 0.297737121582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475051879882812 × 2 - 1) × π
    -0.049896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15675366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297737121582031 × 2 - 1) × π
    0.404525756835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.27085514582731
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15675366} λ = -0.15675366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27085514582731))-π/2
    2×atan(3.56389891291722)-π/2
    2×1.29723914305884-π/2
    2.59447828611769-1.57079632675     		φ = 1.02368196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15675366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.981323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02368196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.652656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62266 KachelY 39025 -0.15675366 1.02368196 -8.981323 58.652656
    Oben rechts KachelX + 1 62267 KachelY 39025 -0.15670572 1.02368196 -8.978576 58.652656
    Unten links KachelX 62266 KachelY + 1 39026 -0.15675366 1.02365702 -8.981323 58.651227
    Unten rechts KachelX + 1 62267 KachelY + 1 39026 -0.15670572 1.02365702 -8.978576 58.651227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02368196-1.02365702) × R
    2.49400000000843e-05 × 6371000     		dl = 158.892740000537m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02368196-1.02365702) × R
    2.49400000000843e-05 × 6371000     		dr = 158.892740000537m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15675366--0.15670572) × cos(1.02368196) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520224983100616 × 6371000     		do = 158.890100429981m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15675366--0.15670572) × cos(1.02365702) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.520246282428422 × 6371000     		du = 158.896605792938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02368196)-sin(1.02365702))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520224983100616-0.520246282428422)×R²
    abs(-0.15670572--0.15675366)×2.12993278057017e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.12993278057017e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.12993278057017e-05×40589641000000     		ar = 25247.0002449779m²