Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62266 / 28071
↖ ↑ ↗
← N 71.153181°
W  8.981323°		 ← 98.66 m → N 71.153181°
W  8.978576°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
N 71.152295°
W  8.981323°		 ← 98.67 m →
9 731 m²		 N 71.152295°
W  8.978576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475055694580078 y=0.214168548583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475055694580078 × 217)
    floor (0.475055694580078 × 131072)
    floor (62266.5)     		tx = 62266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214168548583984 × 217)
    floor (0.214168548583984 × 131072)
    floor (28071.5)     		ty = 28071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62266 / 28071 ti = "17/62266/28071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62266/28071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62266 ÷ 217
    62266 ÷ 131072     		x = 0.475051879882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28071 ÷ 217
    28071 ÷ 131072     		y = 0.214164733886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475051879882812 × 2 - 1) × π
    -0.049896240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15675366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214164733886719 × 2 - 1) × π
    0.571670532226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.7959559442654
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15675366} λ = -0.15675366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7959559442654))-π/2
    2×atan(6.02523175541152)-π/2
    2×1.4063268097339-π/2
    2.81265361946781-1.57079632675     		φ = 1.24185729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15675366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.981323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24185729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.153181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62266 KachelY 28071 -0.15675366 1.24185729 -8.981323 71.153181
    Oben rechts KachelX + 1 62267 KachelY 28071 -0.15670572 1.24185729 -8.978576 71.153181
    Unten links KachelX 62266 KachelY + 1 28072 -0.15675366 1.24184181 -8.981323 71.152295
    Unten rechts KachelX + 1 62267 KachelY + 1 28072 -0.15670572 1.24184181 -8.978576 71.152295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24185729-1.24184181) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dl = 98.6230800004311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24185729-1.24184181) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dr = 98.6230800004311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15675366--0.15670572) × cos(1.24185729) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.323039130087866 × 6371000     		do = 98.6644653560351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15675366--0.15670572) × cos(1.24184181) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.323053780098383 × 6371000     		du = 98.6689398463385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24185729)-sin(1.24184181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323039130087866-0.323053780098383)×R²
    abs(-0.15670572--0.15675366)×1.46500105178138e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.46500105178138e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.46500105178138e-05×40589641000000     		ar = 9730.81410410004m²