Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62265 / 39036
↖ ↑ ↗
← N 58.636935°
W  8.984070°		 ← 158.96 m → N 58.636935°
W  8.981323°		 →
↑
158.96 m
↓
↑
158.96 m
↓
N 58.635506°
W  8.984070°		 ← 158.97 m →
25 268 m²		 N 58.635506°
W  8.981323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475048065185547 y=0.297824859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475048065185547 × 217)
    floor (0.475048065185547 × 131072)
    floor (62265.5)     		tx = 62265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.297824859619141 × 217)
    floor (0.297824859619141 × 131072)
    floor (39036.5)     		ty = 39036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62265 / 39036 ti = "17/62265/39036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62265/39036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62265 ÷ 217
    62265 ÷ 131072     		x = 0.475044250488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39036 ÷ 217
    39036 ÷ 131072     		y = 0.297821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475044250488281 × 2 - 1) × π
    -0.0499114990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15680160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.297821044921875 × 2 - 1) × π
    0.40435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.27032783993149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15680160} λ = -0.15680160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.27032783993149))-π/2
    2×atan(3.56202014339499)-π/2
    2×1.29710195332171-π/2
    2.59420390664343-1.57079632675     		φ = 1.02340758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15680160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.984070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02340758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.636935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62265 KachelY 39036 -0.15680160 1.02340758 -8.984070 58.636935
    Oben rechts KachelX + 1 62266 KachelY 39036 -0.15675366 1.02340758 -8.981323 58.636935
    Unten links KachelX 62265 KachelY + 1 39037 -0.15680160 1.02338263 -8.984070 58.635506
    Unten rechts KachelX + 1 62266 KachelY + 1 39037 -0.15675366 1.02338263 -8.981323 58.635506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02340758-1.02338263) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dl = 158.95645000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02340758-1.02338263) × R
    2.49500000000236e-05 × 6371000     		dr = 158.95645000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15680160--0.15675366) × cos(1.02340758) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.520459292062023 × 6371000     		do = 158.961664417999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15680160--0.15675366) × cos(1.02338263) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.52048059636777 × 6371000     		du = 158.968171301347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02340758)-sin(1.02338263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.520459292062023-0.52048059636777)×R²
    abs(-0.15675366--0.15680160)×2.13043057470941e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.13043057470941e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.13043057470941e-05×40589641000000     		ar = 25268.4990189184m²