Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62264 / 39112
↖ ↑ ↗
← N 58.528125°
W  8.986817°		 ← 159.46 m → N 58.528125°
W  8.984070°		 →
↑
159.47 m
↓
↑
159.47 m
↓
N 58.526691°
W  8.986817°		 ← 159.46 m →
25 428 m²		 N 58.526691°
W  8.984070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475040435791016 y=0.298404693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475040435791016 × 217)
    floor (0.475040435791016 × 131072)
    floor (62264.5)     		tx = 62264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298404693603516 × 217)
    floor (0.298404693603516 × 131072)
    floor (39112.5)     		ty = 39112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62264 / 39112 ti = "17/62264/39112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62264/39112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62264 ÷ 217
    62264 ÷ 131072     		x = 0.47503662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39112 ÷ 217
    39112 ÷ 131072     		y = 0.29840087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47503662109375 × 2 - 1) × π
    -0.0499267578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15684954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29840087890625 × 2 - 1) × π
    0.4031982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26668463556036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15684954} λ = -0.15684954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26668463556036))-π/2
    2×atan(3.54906658659356)-π/2
    2×1.29615240791045-π/2
    2.59230481582089-1.57079632675     		φ = 1.02150849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15684954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.986817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02150849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.528125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62264 KachelY 39112 -0.15684954 1.02150849 -8.986817 58.528125
    Oben rechts KachelX + 1 62265 KachelY 39112 -0.15680160 1.02150849 -8.984070 58.528125
    Unten links KachelX 62264 KachelY + 1 39113 -0.15684954 1.02148346 -8.986817 58.526691
    Unten rechts KachelX + 1 62265 KachelY + 1 39113 -0.15680160 1.02148346 -8.984070 58.526691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02150849-1.02148346) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dl = 159.466129999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02150849-1.02148346) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dr = 159.466129999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15684954--0.15680160) × cos(1.02150849) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522079959838605 × 6371000     		do = 159.456658072864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15684954--0.15680160) × cos(1.02148346) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.522101307675569 × 6371000     		du = 159.463178251766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02150849)-sin(1.02148346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522079959838605-0.522101307675569)×R²
    abs(-0.15680160--0.15684954)×2.13478369635034e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.13478369635034e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.13478369635034e-05×40589641000000     		ar = 25428.4560407312m²