Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62263 / 39111
↖ ↑ ↗
← N 58.529559°
W  8.989563°		 ← 159.42 m → N 58.529559°
W  8.986817°		 →
↑
159.47 m
↓
↑
159.47 m
↓
N 58.528125°
W  8.989563°		 ← 159.42 m →
25 422 m²		 N 58.528125°
W  8.986817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475032806396484 y=0.298397064208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475032806396484 × 217)
    floor (0.475032806396484 × 131072)
    floor (62263.5)     		tx = 62263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298397064208984 × 217)
    floor (0.298397064208984 × 131072)
    floor (39111.5)     		ty = 39111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62263 / 39111 ti = "17/62263/39111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62263/39111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62263 ÷ 217
    62263 ÷ 131072     		x = 0.475028991699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39111 ÷ 217
    39111 ÷ 131072     		y = 0.298393249511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475028991699219 × 2 - 1) × π
    -0.0499420166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15689747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298393249511719 × 2 - 1) × π
    0.403213500976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.26673257245998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15689747} λ = -0.15689747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26673257245998))-π/2
    2×atan(3.54923672192012)-π/2
    2×1.29616492110198-π/2
    2.59232984220395-1.57079632675     		φ = 1.02153352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15689747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.989563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02153352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.529559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62263 KachelY 39111 -0.15689747 1.02153352 -8.989563 58.529559
    Oben rechts KachelX + 1 62264 KachelY 39111 -0.15684954 1.02153352 -8.986817 58.529559
    Unten links KachelX 62263 KachelY + 1 39112 -0.15689747 1.02150849 -8.989563 58.528125
    Unten rechts KachelX + 1 62264 KachelY + 1 39112 -0.15684954 1.02150849 -8.986817 58.528125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02153352-1.02150849) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dl = 159.466129999882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02153352-1.02150849) × R
    2.50299999999815e-05 × 6371000     		dr = 159.466129999882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15689747--0.15684954) × cos(1.02153352) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.522058611674558 × 6371000     		do = 159.41687743993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15689747--0.15684954) × cos(1.02150849) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.522079959838605 × 6371000     		du = 159.42339635864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02153352)-sin(1.02150849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522058611674558-0.522079959838605)×R²
    abs(-0.15684954--0.15689747)×2.13481640471969e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.13481640471969e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.13481640471969e-05×40589641000000     		ar = 25422.1122766533m²