Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62261 / 40051
↖ ↑ ↗
← N 57.155609°
W  8.995056°		 ← 165.65 m → N 57.155609°
W  8.992310°		 →
↑
165.65 m
↓
↑
165.65 m
↓
N 57.154120°
W  8.995056°		 ← 165.66 m →
27 440 m²		 N 57.154120°
W  8.992310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40051 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475017547607422 y=0.305568695068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475017547607422 × 217)
    floor (0.475017547607422 × 131072)
    floor (62261.5)     		tx = 62261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305568695068359 × 217)
    floor (0.305568695068359 × 131072)
    floor (40051.5)     		ty = 40051
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62261 / 40051 ti = "17/62261/40051"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62261/40051.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62261 ÷ 217
    62261 ÷ 131072     		x = 0.475013732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40051 ÷ 217
    40051 ÷ 131072     		y = 0.305564880371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475013732910156 × 2 - 1) × π
    -0.0499725341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15699335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305564880371094 × 2 - 1) × π
    0.388870239257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.22167188681713
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15699335} λ = -0.15699335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22167188681713))-π/2
    2×atan(3.39285546472257)-π/2
    2×1.2841749504418-π/2
    2.56834990088359-1.57079632675     		φ = 0.99755357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15699335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.995056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99755357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.155609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62261 KachelY 40051 -0.15699335 0.99755357 -8.995056 57.155609
    Oben rechts KachelX + 1 62262 KachelY 40051 -0.15694541 0.99755357 -8.992310 57.155609
    Unten links KachelX 62261 KachelY + 1 40052 -0.15699335 0.99752757 -8.995056 57.154120
    Unten rechts KachelX + 1 62262 KachelY + 1 40052 -0.15694541 0.99752757 -8.992310 57.154120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99755357-0.99752757) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dl = 165.645999999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99755357-0.99752757) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dr = 165.645999999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15699335--0.15694541) × cos(0.99755357) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542359286816866 × 6371000     		do = 165.650486521901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15699335--0.15694541) × cos(0.99752757) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542381130446608 × 6371000     		du = 165.657158128679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99755357)-sin(0.99752757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542359286816866-0.542381130446608)×R²
    abs(-0.15694541--0.15699335)×2.18436297425573e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18436297425573e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18436297425573e-05×40589641000000     		ar = 27439.8930545111m²