Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62261 / 38487
↖ ↑ ↗
← N 59.412946°
W  8.995056°		 ← 155.41 m → N 59.412946°
W  8.992310°		 →
↑
155.39 m
↓
↑
155.39 m
↓
N 59.411548°
W  8.995056°		 ← 155.42 m →
24 150 m²		 N 59.411548°
W  8.992310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38487 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.475017547607422 y=0.293636322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.475017547607422 × 217)
    floor (0.475017547607422 × 131072)
    floor (62261.5)     		tx = 62261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293636322021484 × 217)
    floor (0.293636322021484 × 131072)
    floor (38487.5)     		ty = 38487
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62261 / 38487 ti = "17/62261/38487"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62261/38487.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62261 ÷ 217
    62261 ÷ 131072     		x = 0.475013732910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38487 ÷ 217
    38487 ÷ 131072     		y = 0.293632507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.475013732910156 × 2 - 1) × π
    -0.0499725341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15699335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293632507324219 × 2 - 1) × π
    0.412734985351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.2966451978229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15699335} λ = -0.15699335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2966451978229))-π/2
    2×atan(3.65700752851148)-π/2
    2×1.30387392451721-π/2
    2.60774784903441-1.57079632675     		φ = 1.03695152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15699335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -8.995056°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03695152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.412946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62261 KachelY 38487 -0.15699335 1.03695152 -8.995056 59.412946
    Oben rechts KachelX + 1 62262 KachelY 38487 -0.15694541 1.03695152 -8.992310 59.412946
    Unten links KachelX 62261 KachelY + 1 38488 -0.15699335 1.03692713 -8.995056 59.411548
    Unten rechts KachelX + 1 62262 KachelY + 1 38488 -0.15694541 1.03692713 -8.992310 59.411548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03695152-1.03692713) × R
    2.43899999998742e-05 × 6371000     		dl = 155.388689999199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03695152-1.03692713) × R
    2.43899999998742e-05 × 6371000     		dr = 155.388689999199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15699335--0.15694541) × cos(1.03695152) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.508846922990532 × 6371000     		do = 155.414948001094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15699335--0.15694541) × cos(1.03692713) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.508867919141899 × 6371000     		du = 155.421360766163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03695152)-sin(1.03692713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508846922990532-0.508867919141899)×R²
    abs(-0.15694541--0.15699335)×2.09961513673029e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09961513673029e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09961513673029e-05×40589641000000     		ar = 24150.2234130111m²