Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62257 / 39727
↖ ↑ ↗
← N 57.635110°
W  9.006042°		 ← 163.46 m → N 57.635110°
W  9.003296°		 →
↑
163.48 m
↓
↑
163.48 m
↓
N 57.633640°
W  9.006042°		 ← 163.47 m →
26 723 m²		 N 57.633640°
W  9.003296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474987030029297 y=0.303096771240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474987030029297 × 217)
    floor (0.474987030029297 × 131072)
    floor (62257.5)     		tx = 62257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303096771240234 × 217)
    floor (0.303096771240234 × 131072)
    floor (39727.5)     		ty = 39727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62257 / 39727 ti = "17/62257/39727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62257/39727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62257 ÷ 217
    62257 ÷ 131072     		x = 0.474983215332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39727 ÷ 217
    39727 ÷ 131072     		y = 0.303092956542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474983215332031 × 2 - 1) × π
    -0.0500335693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15718509
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303092956542969 × 2 - 1) × π
    0.393814086914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.23720344229403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15718509} λ = -0.15718509}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23720344229403))-π/2
    2×atan(3.44596314242996)-π/2
    2×1.28835938251553-π/2
    2.57671876503106-1.57079632675     		φ = 1.00592244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15718509} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.006042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00592244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.635110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62257 KachelY 39727 -0.15718509 1.00592244 -9.006042 57.635110
    Oben rechts KachelX + 1 62258 KachelY 39727 -0.15713716 1.00592244 -9.003296 57.635110
    Unten links KachelX 62257 KachelY + 1 39728 -0.15718509 1.00589678 -9.006042 57.633640
    Unten rechts KachelX + 1 62258 KachelY + 1 39728 -0.15713716 1.00589678 -9.003296 57.633640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00592244-1.00589678) × R
    2.56599999999274e-05 × 6371000     		dl = 163.479859999538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00592244-1.00589678) × R
    2.56599999999274e-05 × 6371000     		dr = 163.479859999538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15718509--0.15713716) × cos(1.00592244) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.535309297978301 × 6371000     		do = 163.463133908534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15718509--0.15713716) × cos(1.00589678) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.53533097167802 × 6371000     		du = 163.469752233478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00592244)-sin(1.00589678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535309297978301-0.53533097167802)×R²
    abs(-0.15713716--0.15718509)×2.16736997190603e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16736997190603e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16736997190603e-05×40589641000000     		ar = 26723.471229317m²