Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62256 / 40048
↖ ↑ ↗
← N 57.160078°
W  9.008789°		 ← 165.63 m → N 57.160078°
W  9.006042°		 →
↑
165.65 m
↓
↑
165.65 m
↓
N 57.158589°
W  9.008789°		 ← 165.64 m →
27 437 m²		 N 57.158589°
W  9.006042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474979400634766 y=0.305545806884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474979400634766 × 217)
    floor (0.474979400634766 × 131072)
    floor (62256.5)     		tx = 62256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305545806884766 × 217)
    floor (0.305545806884766 × 131072)
    floor (40048.5)     		ty = 40048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62256 / 40048 ti = "17/62256/40048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62256/40048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62256 ÷ 217
    62256 ÷ 131072     		x = 0.4749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40048 ÷ 217
    40048 ÷ 131072     		y = 0.3055419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3055419921875 × 2 - 1) × π
    0.388916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22181569751599
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15723303} λ = -0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22181569751599))-π/2
    2×atan(3.39334342872447)-π/2
    2×1.2842139466197-π/2
    2.5684278932394-1.57079632675     		φ = 0.99763157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99763157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.160078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62256 KachelY 40048 -0.15723303 0.99763157 -9.008789 57.160078
    Oben rechts KachelX + 1 62257 KachelY 40048 -0.15718509 0.99763157 -9.006042 57.160078
    Unten links KachelX 62256 KachelY + 1 40049 -0.15723303 0.99760557 -9.008789 57.158589
    Unten rechts KachelX + 1 62257 KachelY + 1 40049 -0.15718509 0.99760557 -9.006042 57.158589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99763157-0.99760557) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dl = 165.645999999812m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99763157-0.99760557) × R
    2.59999999999705e-05 × 6371000     		dr = 165.645999999812m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15723303--0.15718509) × cos(0.99763157) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542293753727888 × 6371000     		do = 165.630471029705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15723303--0.15718509) × cos(0.99760557) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542315598457491 × 6371000     		du = 165.637142972409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99763157)-sin(0.99760557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542293753727888-0.542315598457491)×R²
    abs(-0.15718509--0.15723303)×2.18447296027602e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18447296027602e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18447296027602e-05×40589641000000     		ar = 27436.5775960179m²