Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62256 / 39728
↖ ↑ ↗
← N 57.633640°
W  9.008789°		 ← 163.50 m → N 57.633640°
W  9.006042°		 →
↑
163.54 m
↓
↑
163.54 m
↓
N 57.632169°
W  9.008789°		 ← 163.51 m →
26 741 m²		 N 57.632169°
W  9.006042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474979400634766 y=0.303104400634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474979400634766 × 217)
    floor (0.474979400634766 × 131072)
    floor (62256.5)     		tx = 62256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303104400634766 × 217)
    floor (0.303104400634766 × 131072)
    floor (39728.5)     		ty = 39728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62256 / 39728 ti = "17/62256/39728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62256/39728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62256 ÷ 217
    62256 ÷ 131072     		x = 0.4749755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39728 ÷ 217
    39728 ÷ 131072     		y = 0.3031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4749755859375 × 2 - 1) × π
    -0.050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15723303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3031005859375 × 2 - 1) × π
    0.393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23715550539441
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15723303} λ = -0.15723303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23715550539441))-π/2
    2×atan(3.44579795759997)-π/2
    2×1.2883465517217-π/2
    2.57669310344339-1.57079632675     		φ = 1.00589678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15723303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.008789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00589678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.633640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62256 KachelY 39728 -0.15723303 1.00589678 -9.008789 57.633640
    Oben rechts KachelX + 1 62257 KachelY 39728 -0.15718509 1.00589678 -9.006042 57.633640
    Unten links KachelX 62256 KachelY + 1 39729 -0.15723303 1.00587111 -9.008789 57.632169
    Unten rechts KachelX + 1 62257 KachelY + 1 39729 -0.15718509 1.00587111 -9.006042 57.632169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00589678-1.00587111) × R
    2.56700000000887e-05 × 6371000     		dl = 163.543570000565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00589678-1.00587111) × R
    2.56700000000887e-05 × 6371000     		dr = 163.543570000565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15723303--0.15718509) × cos(1.00589678) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.53533097167802 × 6371000     		do = 163.503858169666m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15723303--0.15718509) × cos(1.00587111) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535352653471545 × 6371000     		du = 163.510480347498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00589678)-sin(1.00587111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.53533097167802-0.535352653471545)×R²
    abs(-0.15718509--0.15723303)×2.1681793524575e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1681793524575e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1681793524575e-05×40589641000000     		ar = 26740.5461826975m²