Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62255 / 40298
↖ ↑ ↗
← N 56.785836°
W  9.011536°		 ← 167.30 m → N 56.785836°
W  9.008789°		 →
↑
167.30 m
↓
↑
167.30 m
↓
N 56.784332°
W  9.011536°		 ← 167.31 m →
27 991 m²		 N 56.784332°
W  9.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474971771240234 y=0.307453155517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474971771240234 × 217)
    floor (0.474971771240234 × 131072)
    floor (62255.5)     		tx = 62255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.307453155517578 × 217)
    floor (0.307453155517578 × 131072)
    floor (40298.5)     		ty = 40298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62255 / 40298 ti = "17/62255/40298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62255/40298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62255 ÷ 217
    62255 ÷ 131072     		x = 0.474967956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40298 ÷ 217
    40298 ÷ 131072     		y = 0.307449340820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474967956542969 × 2 - 1) × π
    -0.0500640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15728097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.307449340820312 × 2 - 1) × π
    0.385101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.20983147261098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15728097} λ = -0.15728097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20983147261098))-π/2
    2×atan(3.35291954615569)-π/2
    2×1.28094807000989-π/2
    2.56189614001978-1.57079632675     		φ = 0.99109981
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15728097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.011536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99109981 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.785836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62255 KachelY 40298 -0.15728097 0.99109981 -9.011536 56.785836
    Oben rechts KachelX + 1 62256 KachelY 40298 -0.15723303 0.99109981 -9.008789 56.785836
    Unten links KachelX 62255 KachelY + 1 40299 -0.15728097 0.99107355 -9.011536 56.784332
    Unten rechts KachelX + 1 62256 KachelY + 1 40299 -0.15723303 0.99107355 -9.008789 56.784332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99109981-0.99107355) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dl = 167.302460000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99109981-0.99107355) × R
    2.62600000000557e-05 × 6371000     		dr = 167.302460000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15728097--0.15723303) × cos(0.99109981) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547770059192759 × 6371000     		do = 167.303075678779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15728097--0.15723303) × cos(0.99107355) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.547792028879524 × 6371000     		du = 167.309785786617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99109981)-sin(0.99107355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.547770059192759-0.547792028879524)×R²
    abs(-0.15723303--0.15728097)×2.19696867647112e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.19696867647112e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.19696867647112e-05×40589641000000     		ar = 27990.7774369749m²