Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62255 / 25903
↖ ↑ ↗
← N 72.984858°
W  9.011536°		 ← 89.38 m → N 72.984858°
W  9.008789°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
N 72.984054°
W  9.011536°		 ← 89.38 m →
7 989 m²		 N 72.984054°
W  9.008789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25903 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474971771240234 y=0.197628021240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474971771240234 × 217)
    floor (0.474971771240234 × 131072)
    floor (62255.5)     		tx = 62255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197628021240234 × 217)
    floor (0.197628021240234 × 131072)
    floor (25903.5)     		ty = 25903
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62255 / 25903 ti = "17/62255/25903"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62255/25903.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62255 ÷ 217
    62255 ÷ 131072     		x = 0.474967956542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25903 ÷ 217
    25903 ÷ 131072     		y = 0.197624206542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474967956542969 × 2 - 1) × π
    -0.0500640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15728097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197624206542969 × 2 - 1) × π
    0.604751586914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.89988314264169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15728097} λ = -0.15728097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89988314264169))-π/2
    2×atan(6.68511319196509)-π/2
    2×1.4223111974475-π/2
    2.84462239489499-1.57079632675     		φ = 1.27382607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15728097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.011536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27382607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.984858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62255 KachelY 25903 -0.15728097 1.27382607 -9.011536 72.984858
    Oben rechts KachelX + 1 62256 KachelY 25903 -0.15723303 1.27382607 -9.008789 72.984858
    Unten links KachelX 62255 KachelY + 1 25904 -0.15728097 1.27381204 -9.011536 72.984054
    Unten rechts KachelX + 1 62256 KachelY + 1 25904 -0.15723303 1.27381204 -9.008789 72.984054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27382607-1.27381204) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27382607-1.27381204) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15728097--0.15723303) × cos(1.27382607) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.292624430513211 × 6371000     		do = 89.3750332315691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15728097--0.15723303) × cos(1.27381204) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.292637846355581 × 6371000     		du = 89.3791307751529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27382607)-sin(1.27381204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292624430513211-0.292637846355581)×R²
    abs(-0.15723303--0.15728097)×1.34158423707453e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.34158423707453e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.34158423707453e-05×40589641000000     		ar = 7988.98209401102m²