Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62254 / 38491
↖ ↑ ↗
← N 59.407355°
W  9.014282°		 ← 155.41 m → N 59.407355°
W  9.011536°		 →
↑
155.39 m
↓
↑
155.39 m
↓
N 59.405957°
W  9.014282°		 ← 155.41 m →
24 149 m²		 N 59.405957°
W  9.011536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474964141845703 y=0.293666839599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474964141845703 × 217)
    floor (0.474964141845703 × 131072)
    floor (62254.5)     		tx = 62254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293666839599609 × 217)
    floor (0.293666839599609 × 131072)
    floor (38491.5)     		ty = 38491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62254 / 38491 ti = "17/62254/38491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62254/38491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62254 ÷ 217
    62254 ÷ 131072     		x = 0.474960327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38491 ÷ 217
    38491 ÷ 131072     		y = 0.293663024902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474960327148438 × 2 - 1) × π
    -0.050079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15732890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293663024902344 × 2 - 1) × π
    0.412673950195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.29645345022442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15732890} λ = -0.15732890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29645345022442))-π/2
    2×atan(3.65630637332482)-π/2
    2×1.3038251354031-π/2
    2.6076502708062-1.57079632675     		φ = 1.03685394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15732890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.014282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03685394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.407355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62254 KachelY 38491 -0.15732890 1.03685394 -9.014282 59.407355
    Oben rechts KachelX + 1 62255 KachelY 38491 -0.15728097 1.03685394 -9.011536 59.407355
    Unten links KachelX 62254 KachelY + 1 38492 -0.15732890 1.03682955 -9.014282 59.405957
    Unten rechts KachelX + 1 62255 KachelY + 1 38492 -0.15728097 1.03682955 -9.011536 59.405957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03685394-1.03682955) × R
    2.43900000000963e-05 × 6371000     		dl = 155.388690000613m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03685394-1.03682955) × R
    2.43900000000963e-05 × 6371000     		dr = 155.388690000613m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15732890--0.15728097) × cos(1.03685394) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.508930922995831 × 6371000     		do = 155.408179775786m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15732890--0.15728097) × cos(1.03682955) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.50895191793603 × 6371000     		du = 155.414590833345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03685394)-sin(1.03682955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508930922995831-0.50895191793603)×R²
    abs(-0.15728097--0.15732890)×2.09949401990261e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.09949401990261e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.09949401990261e-05×40589641000000     		ar = 24149.1715747537m²