Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62254 / 25909
↖ ↑ ↗
← N 72.980034°
W  9.014282°		 ← 89.38 m → N 72.980034°
W  9.011536°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
N 72.979231°
W  9.014282°		 ← 89.39 m →
7 990 m²		 N 72.979231°
W  9.011536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25909 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474964141845703 y=0.197673797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474964141845703 × 217)
    floor (0.474964141845703 × 131072)
    floor (62254.5)     		tx = 62254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197673797607422 × 217)
    floor (0.197673797607422 × 131072)
    floor (25909.5)     		ty = 25909
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62254 / 25909 ti = "17/62254/25909"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62254/25909.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62254 ÷ 217
    62254 ÷ 131072     		x = 0.474960327148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25909 ÷ 217
    25909 ÷ 131072     		y = 0.197669982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474960327148438 × 2 - 1) × π
    -0.050079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15732890
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197669982910156 × 2 - 1) × π
    0.604660034179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.89959552124397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15732890} λ = -0.15732890}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89959552124397))-π/2
    2×atan(6.68319068685495)-π/2
    2×1.42226910913589-π/2
    2.84453821827178-1.57079632675     		φ = 1.27374189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15732890} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.014282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27374189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.980034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62254 KachelY 25909 -0.15732890 1.27374189 -9.014282 72.980034
    Oben rechts KachelX + 1 62255 KachelY 25909 -0.15728097 1.27374189 -9.011536 72.980034
    Unten links KachelX 62254 KachelY + 1 25910 -0.15732890 1.27372786 -9.014282 72.979231
    Unten rechts KachelX + 1 62255 KachelY + 1 25910 -0.15728097 1.27372786 -9.011536 72.979231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27374189-1.27372786) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27374189-1.27372786) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15732890--0.15728097) × cos(1.27374189) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.292704924703336 × 6371000     		do = 89.3809699984107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15732890--0.15728097) × cos(1.27372786) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.292718340200048 × 6371000     		du = 89.3850665817203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27374189)-sin(1.27372786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292704924703336-0.292718340200048)×R²
    abs(-0.15728097--0.15732890)×1.34154967125211e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.34154967125211e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.34154967125211e-05×40589641000000     		ar = 7989.51270979011m²