Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62254 / 13543
N 72.007855°
E161.971435°
← 188.68 m → N 72.007855°
E161.976929°

188.65 m

188.65 m
N 72.006159°
E161.971435°
← 188.70 m →
35 596 m²
N 72.006159°
E161.976929°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949928283691406 y=0.206657409667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949928283691406 × 216)
    floor (0.949928283691406 × 65536)
    floor (62254.5)
    tx = 62254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206657409667969 × 216)
    floor (0.206657409667969 × 65536)
    floor (13543.5)
    ty = 13543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62254 / 13543 ti = "16/62254/13543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62254/13543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62254 ÷ 216
    62254 ÷ 65536
    x = 0.949920654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13543 ÷ 216
    13543 ÷ 65536
    y = 0.206649780273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.949920654296875 × 2 - 1) × π
    0.89984130859375 × 3.1415926535
    Λ = 2.82693484
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.206649780273438 × 2 - 1) × π
    0.586700439453125 × 3.1415926535
    Φ = 1.84317379039116
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82693484} λ = 2.82693484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84317379039116))-π/2
    2×atan(6.31655389957635)-π/2
    2×1.41378524367375-π/2
    2.82757048734749-1.57079632675
    φ = 1.25677416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82693484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.971435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25677416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.007855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62254 KachelY 13543 2.82693484 1.25677416 161.971435 72.007855
    Oben rechts KachelX + 1 62255 KachelY 13543 2.82703072 1.25677416 161.976929 72.007855
    Unten links KachelX 62254 KachelY + 1 13544 2.82693484 1.25674455 161.971435 72.006159
    Unten rechts KachelX + 1 62255 KachelY + 1 13544 2.82703072 1.25674455 161.976929 72.006159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.25677416-1.25674455) × R
    2.96099999999022e-05 × 6371000
    dl = 188.645309999377m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.25677416-1.25674455) × R
    2.96099999999022e-05 × 6371000
    dr = 188.645309999377m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.82693484-2.82703072) × cos(1.25677416) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.308886602988466 × 6371000
    do = 188.683838588427m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.82693484-2.82703072) × cos(1.25674455) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.308914764890687 × 6371000
    du = 188.701041328079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.25677416)-sin(1.25674455))×
    abs(λ12)×abs(0.308886602988466-0.308914764890687)×
    abs(2.82703072-2.82693484)×2.81619022210466e-05×
    9.58800000003812e-05×2.81619022210466e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×2.81619022210466e-05×40589641000000
    ar = 35595.9438331216m²