Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62253 / 40060
↖ ↑ ↗
← N 57.142200°
W  9.017029°		 ← 165.71 m → N 57.142200°
W  9.014282°		 →
↑
165.71 m
↓
↑
165.71 m
↓
N 57.140710°
W  9.017029°		 ← 165.72 m →
27 460 m²		 N 57.140710°
W  9.014282°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474956512451172 y=0.305637359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474956512451172 × 217)
    floor (0.474956512451172 × 131072)
    floor (62253.5)     		tx = 62253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305637359619141 × 217)
    floor (0.305637359619141 × 131072)
    floor (40060.5)     		ty = 40060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62253 / 40060 ti = "17/62253/40060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62253/40060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62253 ÷ 217
    62253 ÷ 131072     		x = 0.474952697753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40060 ÷ 217
    40060 ÷ 131072     		y = 0.305633544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474952697753906 × 2 - 1) × π
    -0.0500946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15737684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305633544921875 × 2 - 1) × π
    0.38873291015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22124045472055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15737684} λ = -0.15737684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22124045472055))-π/2
    2×atan(3.39139199369292)-π/2
    2×1.28405793363546-π/2
    2.56811586727092-1.57079632675     		φ = 0.99731954
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15737684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.017029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99731954 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.142200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62253 KachelY 40060 -0.15737684 0.99731954 -9.017029 57.142200
    Oben rechts KachelX + 1 62254 KachelY 40060 -0.15732890 0.99731954 -9.014282 57.142200
    Unten links KachelX 62253 KachelY + 1 40061 -0.15737684 0.99729353 -9.017029 57.140710
    Unten rechts KachelX + 1 62254 KachelY + 1 40061 -0.15732890 0.99729353 -9.014282 57.140710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99731954-0.99729353) × R
    2.60100000000207e-05 × 6371000     		dl = 165.709710000132m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99731954-0.99729353) × R
    2.60100000000207e-05 × 6371000     		dr = 165.709710000132m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15737684--0.15732890) × cos(0.99731954) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542555891484512 × 6371000     		do = 165.710534648004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15737684--0.15732890) × cos(0.99729353) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.542577740213509 × 6371000     		du = 165.717207812226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99731954)-sin(0.99729353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542555891484512-0.542577740213509)×R²
    abs(-0.15732890--0.15737684)×2.18487289969094e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.18487289969094e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.18487289969094e-05×40589641000000     		ar = 27460.3975461149m²