Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 62253 / 13541
↖ ↑ ↗
← N 72.011248°
E161.965942°		 ← 188.63 m → N 72.011248°
E161.971435°		 →
↑
188.65 m
↓
↑
188.65 m
↓
N 72.009552°
E161.965942°		 ← 188.65 m →
35 586 m²		 N 72.009552°
E161.971435°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.949913024902344 y=0.206626892089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.949913024902344 × 216)
    floor (0.949913024902344 × 65536)
    floor (62253.5)     		tx = 62253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.206626892089844 × 216)
    floor (0.206626892089844 × 65536)
    floor (13541.5)     		ty = 13541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 62253 / 13541 ti = "16/62253/13541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/62253/13541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62253 ÷ 216
    62253 ÷ 65536     		x = 0.949905395507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13541 ÷ 216
    13541 ÷ 65536     		y = 0.206619262695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.949905395507812 × 2 - 1) × π
    0.899810791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.82683897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.206619262695312 × 2 - 1) × π
    0.586761474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.84336553798964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.82683897} λ = 2.82683897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.84336553798964))-π/2
    2×atan(6.31776519974551)-π/2
    2×1.41381485510563-π/2
    2.82762971021125-1.57079632675     		φ = 1.25683338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.82683897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.965942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25683338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.011248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62253 KachelY 13541 2.82683897 1.25683338 161.965942 72.011248
    Oben rechts KachelX + 1 62254 KachelY 13541 2.82693484 1.25683338 161.971435 72.011248
    Unten links KachelX 62253 KachelY + 1 13542 2.82683897 1.25680377 161.965942 72.009552
    Unten rechts KachelX + 1 62254 KachelY + 1 13542 2.82693484 1.25680377 161.971435 72.009552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25683338-1.25680377) × R
    2.96099999999022e-05 × 6371000     		dl = 188.645309999377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25683338-1.25680377) × R
    2.96099999999022e-05 × 6371000     		dr = 188.645309999377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.82683897-2.82693484) × cos(1.25683338) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.308830278371598 × 6371000     		do = 188.629757035063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.82683897-2.82693484) × cos(1.25680377) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.308858440815428 × 6371000     		du = 188.646958311328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25683338)-sin(1.25680377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.308830278371598-0.308858440815428)×R²
    abs(2.82693484-2.82683897)×2.81624438303041e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.81624438303041e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.81624438303041e-05×40589641000000     		ar = 35585.7414639675m²