Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62252 / 33948
↖ ↑ ↗
← N 65.187641°
W  9.019775°		 ← 128.17 m → N 65.187641°
W  9.017029°		 →
↑
128.12 m
↓
↑
128.12 m
↓
N 65.186488°
W  9.019775°		 ← 128.18 m →
16 422 m²		 N 65.186488°
W  9.017029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474948883056641 y=0.259006500244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474948883056641 × 217)
    floor (0.474948883056641 × 131072)
    floor (62252.5)     		tx = 62252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259006500244141 × 217)
    floor (0.259006500244141 × 131072)
    floor (33948.5)     		ty = 33948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62252 / 33948 ti = "17/62252/33948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62252/33948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62252 ÷ 217
    62252 ÷ 131072     		x = 0.474945068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33948 ÷ 217
    33948 ÷ 131072     		y = 0.259002685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.05010986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15742478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259002685546875 × 2 - 1) × π
    0.48199462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.51423078519833
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15742478} λ = -0.15742478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51423078519833))-π/2
    2×atan(4.54592299035753)-π/2
    2×1.35426764572646-π/2
    2.70853529145293-1.57079632675     		φ = 1.13773896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15742478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.019775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13773896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.187641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62252 KachelY 33948 -0.15742478 1.13773896 -9.019775 65.187641
    Oben rechts KachelX + 1 62253 KachelY 33948 -0.15737684 1.13773896 -9.017029 65.187641
    Unten links KachelX 62252 KachelY + 1 33949 -0.15742478 1.13771885 -9.019775 65.186488
    Unten rechts KachelX + 1 62253 KachelY + 1 33949 -0.15737684 1.13771885 -9.017029 65.186488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13773896-1.13771885) × R
    2.01100000001286e-05 × 6371000     		dl = 128.12081000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13773896-1.13771885) × R
    2.01100000001286e-05 × 6371000     		dr = 128.12081000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15742478--0.15737684) × cos(1.13773896) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419647891453786 × 6371000     		do = 128.171267786703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15742478--0.15737684) × cos(1.13771885) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.419666144954026 × 6371000     		du = 128.176842875521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13773896)-sin(1.13771885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419647891453786-0.419666144954026)×R²
    abs(-0.15737684--0.15742478)×1.82535002397621e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.82535002397621e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.82535002397621e-05×40589641000000     		ar = 16421.7637906034m²