Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62251 / 76649
↖ ↑ ↗
← S 29.173747°
W  9.022522°		 ← 266.68 m → S 29.173747°
W  9.019775°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
S 29.176145°
W  9.022522°		 ← 266.67 m →
71 120 m²		 S 29.176145°
W  9.019775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474941253662109 y=0.584789276123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474941253662109 × 217)
    floor (0.474941253662109 × 131072)
    floor (62251.5)     		tx = 62251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584789276123047 × 217)
    floor (0.584789276123047 × 131072)
    floor (76649.5)     		ty = 76649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62251 / 76649 ti = "17/62251/76649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62251/76649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62251 ÷ 217
    62251 ÷ 131072     		x = 0.474937438964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76649 ÷ 217
    76649 ÷ 131072     		y = 0.584785461425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474937438964844 × 2 - 1) × π
    -0.0501251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15747272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584785461425781 × 2 - 1) × π
    -0.169570922851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.532722765477684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15747272} λ = -0.15747272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532722765477684))-π/2
    2×atan(0.587004516205394)-π/2
    2×0.530809192866451-π/2
    1.0616183857329-1.57079632675     		φ = -0.50917794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15747272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.022522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50917794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.173747°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62251 KachelY 76649 -0.15747272 -0.50917794 -9.022522 -29.173747
    Oben rechts KachelX + 1 62252 KachelY 76649 -0.15742478 -0.50917794 -9.019775 -29.173747
    Unten links KachelX 62251 KachelY + 1 76650 -0.15747272 -0.50921980 -9.022522 -29.176145
    Unten rechts KachelX + 1 62252 KachelY + 1 76650 -0.15742478 -0.50921980 -9.019775 -29.176145
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50917794--0.50921980) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dl = 266.690059999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50917794--0.50921980) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dr = 266.690059999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15747272--0.15742478) × cos(-0.50917794) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873145523695345 × 6371000     		do = 266.681117702472m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15747272--0.15742478) × cos(-0.50921980) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873125117870097 × 6371000     		du = 266.674885238196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50917794)-sin(-0.50921980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873145523695345-0.873125117870097)×R²
    abs(-0.15742478--0.15747272)×2.04058252478712e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.04058252478712e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.04058252478712e-05×40589641000000     		ar = 71120.3722231772m²