Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62251 / 25910
↖ ↑ ↗
← N 72.979231°
W  9.022522°		 ← 89.40 m → N 72.979231°
W  9.019775°		 →
↑
89.39 m
↓
↑
89.39 m
↓
N 72.978427°
W  9.022522°		 ← 89.41 m →
7 992 m²		 N 72.978427°
W  9.019775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474941253662109 y=0.197681427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474941253662109 × 217)
    floor (0.474941253662109 × 131072)
    floor (62251.5)     		tx = 62251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197681427001953 × 217)
    floor (0.197681427001953 × 131072)
    floor (25910.5)     		ty = 25910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62251 / 25910 ti = "17/62251/25910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62251/25910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62251 ÷ 217
    62251 ÷ 131072     		x = 0.474937438964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25910 ÷ 217
    25910 ÷ 131072     		y = 0.197677612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474937438964844 × 2 - 1) × π
    -0.0501251220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15747272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197677612304688 × 2 - 1) × π
    0.604644775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89954758434435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15747272} λ = -0.15747272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89954758434435))-π/2
    2×atan(6.68287032309254)-π/2
    2×1.42226209329183-π/2
    2.84452418658367-1.57079632675     		φ = 1.27372786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15747272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.022522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27372786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.979231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62251 KachelY 25910 -0.15747272 1.27372786 -9.022522 72.979231
    Oben rechts KachelX + 1 62252 KachelY 25910 -0.15742478 1.27372786 -9.019775 72.979231
    Unten links KachelX 62251 KachelY + 1 25911 -0.15747272 1.27371383 -9.022522 72.978427
    Unten rechts KachelX + 1 62252 KachelY + 1 25911 -0.15742478 1.27371383 -9.019775 72.978427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27372786-1.27371383) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dl = 89.3851299999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27372786-1.27371383) × R
    1.40299999999982e-05 × 6371000     		dr = 89.3851299999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15747272--0.15742478) × cos(1.27372786) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.292718340200048 × 6371000     		do = 89.4037156672164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15747272--0.15742478) × cos(1.27371383) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.292731755639142 × 6371000     		du = 89.407813087629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27372786)-sin(1.27371383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292718340200048-0.292731755639142)×R²
    abs(-0.15742478--0.15747272)×1.34154390936669e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.34154390936669e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.34154390936669e-05×40589641000000     		ar = 7991.54587194513m²