Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62250 / 39790
↖ ↑ ↗
← N 57.542365°
W  9.025268°		 ← 163.88 m → N 57.542365°
W  9.022522°		 →
↑
163.93 m
↓
↑
163.93 m
↓
N 57.540891°
W  9.025268°		 ← 163.89 m →
26 865 m²		 N 57.540891°
W  9.022522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474933624267578 y=0.303577423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474933624267578 × 217)
    floor (0.474933624267578 × 131072)
    floor (62250.5)     		tx = 62250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.303577423095703 × 217)
    floor (0.303577423095703 × 131072)
    floor (39790.5)     		ty = 39790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62250 / 39790 ti = "17/62250/39790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62250/39790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62250 ÷ 217
    62250 ÷ 131072     		x = 0.474929809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39790 ÷ 217
    39790 ÷ 131072     		y = 0.303573608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474929809570312 × 2 - 1) × π
    -0.050140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15752065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.303573608398438 × 2 - 1) × π
    0.392852783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23418341761797
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15752065} λ = -0.15752065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23418341761797))-π/2
    2×atan(3.43557194743745)-π/2
    2×1.28755002737546-π/2
    2.57510005475092-1.57079632675     		φ = 1.00430373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15752065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.025268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00430373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.542365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62250 KachelY 39790 -0.15752065 1.00430373 -9.025268 57.542365
    Oben rechts KachelX + 1 62251 KachelY 39790 -0.15747272 1.00430373 -9.022522 57.542365
    Unten links KachelX 62250 KachelY + 1 39791 -0.15752065 1.00427800 -9.025268 57.540891
    Unten rechts KachelX + 1 62251 KachelY + 1 39791 -0.15747272 1.00427800 -9.022522 57.540891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00430373-1.00427800) × R
    2.57299999999461e-05 × 6371000     		dl = 163.925829999656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00430373-1.00427800) × R
    2.57299999999461e-05 × 6371000     		dr = 163.925829999656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15752065--0.15747272) × cos(1.00430373) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.536675849369435 × 6371000     		do = 163.88042681543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15752065--0.15747272) × cos(1.00427800) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.536697559869889 × 6371000     		du = 163.887056377921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00430373)-sin(1.00427800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.536675849369435-0.536697559869889)×R²
    abs(-0.15747272--0.15752065)×2.17105004536311e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.17105004536311e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.17105004536311e-05×40589641000000     		ar = 26864.7783661051m²