Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62250 / 38175
↖ ↑ ↗
← N 59.846195°
W  9.025268°		 ← 153.39 m → N 59.846195°
W  9.022522°		 →
↑
153.41 m
↓
↑
153.41 m
↓
N 59.844815°
W  9.025268°		 ← 153.40 m →
23 533 m²		 N 59.844815°
W  9.022522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474933624267578 y=0.291255950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474933624267578 × 217)
    floor (0.474933624267578 × 131072)
    floor (62250.5)     		tx = 62250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291255950927734 × 217)
    floor (0.291255950927734 × 131072)
    floor (38175.5)     		ty = 38175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62250 / 38175 ti = "17/62250/38175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62250/38175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62250 ÷ 217
    62250 ÷ 131072     		x = 0.474929809570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38175 ÷ 217
    38175 ÷ 131072     		y = 0.291252136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474929809570312 × 2 - 1) × π
    -0.050140380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15752065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291252136230469 × 2 - 1) × π
    0.417495727539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.31160151050436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15752065} λ = -0.15752065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31160151050436))-π/2
    2×atan(3.71211394374323)-π/2
    2×1.30765473331434-π/2
    2.61530946662867-1.57079632675     		φ = 1.04451314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15752065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.025268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04451314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.846195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62250 KachelY 38175 -0.15752065 1.04451314 -9.025268 59.846195
    Oben rechts KachelX + 1 62251 KachelY 38175 -0.15747272 1.04451314 -9.022522 59.846195
    Unten links KachelX 62250 KachelY + 1 38176 -0.15752065 1.04448906 -9.025268 59.844815
    Unten rechts KachelX + 1 62251 KachelY + 1 38176 -0.15747272 1.04448906 -9.022522 59.844815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04451314-1.04448906) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dl = 153.413679999885m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04451314-1.04448906) × R
    2.40799999999819e-05 × 6371000     		dr = 153.413679999885m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15752065--0.15747272) × cos(1.04451314) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.5023229639836 × 6371000     		do = 153.390359997654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15752065--0.15747272) × cos(1.04448906) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.502343785334277 × 6371000     		du = 153.396718047564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04451314)-sin(1.04448906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5023229639836-0.502343785334277)×R²
    abs(-0.15747272--0.15752065)×2.08213506768251e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08213506768251e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08213506768251e-05×40589641000000     		ar = 23532.6673108792m²