Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62248 / 76693
↖ ↑ ↗
← S 29.279212°
W  9.030762°		 ← 266.41 m → S 29.279212°
W  9.028015°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
S 29.281607°
W  9.030762°		 ← 266.40 m →
70 962 m²		 S 29.281607°
W  9.028015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474918365478516 y=0.585124969482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474918365478516 × 217)
    floor (0.474918365478516 × 131072)
    floor (62248.5)     		tx = 62248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585124969482422 × 217)
    floor (0.585124969482422 × 131072)
    floor (76693.5)     		ty = 76693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62248 / 76693 ti = "17/62248/76693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62248/76693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62248 ÷ 217
    62248 ÷ 131072     		x = 0.47491455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76693 ÷ 217
    76693 ÷ 131072     		y = 0.585121154785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47491455078125 × 2 - 1) × π
    -0.0501708984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15761653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585121154785156 × 2 - 1) × π
    -0.170242309570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.534831989060967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15761653} λ = -0.15761653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534831989060967))-π/2
    2×atan(0.585767697258698)-π/2
    2×0.529888837040243-π/2
    1.05977767408049-1.57079632675     		φ = -0.51101865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15761653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.030762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51101865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.279212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62248 KachelY 76693 -0.15761653 -0.51101865 -9.030762 -29.279212
    Oben rechts KachelX + 1 62249 KachelY 76693 -0.15756859 -0.51101865 -9.028015 -29.279212
    Unten links KachelX 62248 KachelY + 1 76694 -0.15761653 -0.51106046 -9.030762 -29.281607
    Unten rechts KachelX + 1 62249 KachelY + 1 76694 -0.15756859 -0.51106046 -9.028015 -29.281607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51101865--0.51106046) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51101865--0.51106046) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15761653--0.15756859) × cos(-0.51101865) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872246773178535 × 6371000     		do = 266.406616160646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15761653--0.15756859) × cos(-0.51106046) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872226324566092 × 6371000     		du = 266.400370628058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51101865)-sin(-0.51106046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872246773178535-0.872226324566092)×R²
    abs(-0.15756859--0.15761653)×2.04486124432135e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.04486124432135e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.04486124432135e-05×40589641000000     		ar = 70962.3008150592m²