Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62247 / 38172
↖ ↑ ↗
← N 59.850333°
W  9.033508°		 ← 153.37 m → N 59.850333°
W  9.030762°		 →
↑
153.35 m
↓
↑
153.35 m
↓
N 59.848954°
W  9.033508°		 ← 153.38 m →
23 520 m²		 N 59.848954°
W  9.030762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474910736083984 y=0.291233062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474910736083984 × 217)
    floor (0.474910736083984 × 131072)
    floor (62247.5)     		tx = 62247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291233062744141 × 217)
    floor (0.291233062744141 × 131072)
    floor (38172.5)     		ty = 38172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62247 / 38172 ti = "17/62247/38172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62247/38172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62247 ÷ 217
    62247 ÷ 131072     		x = 0.474906921386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38172 ÷ 217
    38172 ÷ 131072     		y = 0.291229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474906921386719 × 2 - 1) × π
    -0.0501861572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15766446
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291229248046875 × 2 - 1) × π
    0.41754150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.31174532120322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15766446} λ = -0.15766446}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31174532120322))-π/2
    2×atan(3.71264782383164)-π/2
    2×1.30769085077691-π/2
    2.61538170155382-1.57079632675     		φ = 1.04458537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15766446} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.033508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04458537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.850333°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62247 KachelY 38172 -0.15766446 1.04458537 -9.033508 59.850333
    Oben rechts KachelX + 1 62248 KachelY 38172 -0.15761653 1.04458537 -9.030762 59.850333
    Unten links KachelX 62247 KachelY + 1 38173 -0.15766446 1.04456130 -9.033508 59.848954
    Unten rechts KachelX + 1 62248 KachelY + 1 38173 -0.15761653 1.04456130 -9.030762 59.848954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04458537-1.04456130) × R
    2.40700000000427e-05 × 6371000     		dl = 153.349970000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04458537-1.04456130) × R
    2.40700000000427e-05 × 6371000     		dr = 153.349970000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15766446--0.15761653) × cos(1.04458537) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.502260506831161 × 6371000     		do = 153.371287954797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15766446--0.15761653) × cos(1.04456130) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.502281320408448 × 6371000     		du = 153.377643631009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04458537)-sin(1.04456130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502260506831161-0.502281320408448)×R²
    abs(-0.15761653--0.15766446)×2.08135772875595e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.08135772875595e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.08135772875595e-05×40589641000000     		ar = 23519.9697291999m²