Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62246 / 39610
↖ ↑ ↗
← N 57.806725°
W  9.036255°		 ← 162.72 m → N 57.806725°
W  9.033508°		 →
↑
162.72 m
↓
↑
162.72 m
↓
N 57.805262°
W  9.036255°		 ← 162.73 m →
26 478 m²		 N 57.805262°
W  9.033508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474903106689453 y=0.302204132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474903106689453 × 217)
    floor (0.474903106689453 × 131072)
    floor (62246.5)     		tx = 62246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302204132080078 × 217)
    floor (0.302204132080078 × 131072)
    floor (39610.5)     		ty = 39610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62246 / 39610 ti = "17/62246/39610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62246/39610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62246 ÷ 217
    62246 ÷ 131072     		x = 0.474899291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39610 ÷ 217
    39610 ÷ 131072     		y = 0.302200317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474899291992188 × 2 - 1) × π
    -0.050201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15771240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302200317382812 × 2 - 1) × π
    0.395599365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24281205954958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15771240} λ = -0.15771240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24281205954958))-π/2
    2×atan(3.46534453136277)-π/2
    2×1.28985700257707-π/2
    2.57971400515414-1.57079632675     		φ = 1.00891768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15771240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.036255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00891768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.806725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62246 KachelY 39610 -0.15771240 1.00891768 -9.036255 57.806725
    Oben rechts KachelX + 1 62247 KachelY 39610 -0.15766446 1.00891768 -9.033508 57.806725
    Unten links KachelX 62246 KachelY + 1 39611 -0.15771240 1.00889214 -9.036255 57.805262
    Unten rechts KachelX + 1 62247 KachelY + 1 39611 -0.15766446 1.00889214 -9.033508 57.805262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00891768-1.00889214) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dl = 162.71533999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00891768-1.00889214) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dr = 162.71533999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15771240--0.15766446) × cos(1.00891768) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532776952722276 × 6371000     		do = 162.723795040134m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15771240--0.15766446) × cos(1.00889214) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.532798565919223 × 6371000     		du = 162.730396266805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00891768)-sin(1.00889214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532776952722276-0.532798565919223)×R²
    abs(-0.15766446--0.15771240)×2.16131969464906e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16131969464906e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16131969464906e-05×40589641000000     		ar = 26478.194697781m²