Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62246 / 25914
↖ ↑ ↗
← N 72.976015°
W  9.036255°		 ← 89.42 m → N 72.976015°
W  9.033508°		 →
↑
89.45 m
↓
↑
89.45 m
↓
N 72.975210°
W  9.036255°		 ← 89.42 m →
7 999 m²		 N 72.975210°
W  9.033508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62246 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474903106689453 y=0.197711944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474903106689453 × 217)
    floor (0.474903106689453 × 131072)
    floor (62246.5)     		tx = 62246
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197711944580078 × 217)
    floor (0.197711944580078 × 131072)
    floor (25914.5)     		ty = 25914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62246 / 25914 ti = "17/62246/25914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62246/25914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62246 ÷ 217
    62246 ÷ 131072     		x = 0.474899291992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25914 ÷ 217
    25914 ÷ 131072     		y = 0.197708129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474899291992188 × 2 - 1) × π
    -0.050201416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.15771240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197708129882812 × 2 - 1) × π
    0.604583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89935583674586
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15771240} λ = -0.15771240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89935583674586))-π/2
    2×atan(6.6815890216043)-π/2
    2×1.42223402669954-π/2
    2.84446805339908-1.57079632675     		φ = 1.27367173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15771240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.036255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27367173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.976015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62246 KachelY 25914 -0.15771240 1.27367173 -9.036255 72.976015
    Oben rechts KachelX + 1 62247 KachelY 25914 -0.15766446 1.27367173 -9.033508 72.976015
    Unten links KachelX 62246 KachelY + 1 25915 -0.15771240 1.27365769 -9.036255 72.975210
    Unten rechts KachelX + 1 62247 KachelY + 1 25915 -0.15766446 1.27365769 -9.033508 72.975210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27367173-1.27365769) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dl = 89.4488399996014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27367173-1.27365769) × R
    1.40399999999374e-05 × 6371000     		dr = 89.4488399996014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15771240--0.15766446) × cos(1.27367173) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.292772011172506 × 6371000     		do = 89.4201081636439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15771240--0.15766446) × cos(1.27365769) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.292785435942838 × 6371000     		du = 89.4242084340569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27367173)-sin(1.27365769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292772011172506-0.292785435942838)×R²
    abs(-0.15766446--0.15771240)×1.34247703320045e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.34247703320045e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.34247703320045e-05×40589641000000     		ar = 7998.70833015386m²