Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62243 / 76645
↖ ↑ ↗
← S 29.164154°
W  9.044495°		 ← 266.71 m → S 29.164154°
W  9.041748°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
S 29.166552°
W  9.044495°		 ← 266.70 m →
71 127 m²		 S 29.166552°
W  9.041748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474880218505859 y=0.584758758544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474880218505859 × 217)
    floor (0.474880218505859 × 131072)
    floor (62243.5)     		tx = 62243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584758758544922 × 217)
    floor (0.584758758544922 × 131072)
    floor (76645.5)     		ty = 76645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62243 / 76645 ti = "17/62243/76645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62243/76645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62243 ÷ 217
    62243 ÷ 131072     		x = 0.474876403808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76645 ÷ 217
    76645 ÷ 131072     		y = 0.584754943847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474876403808594 × 2 - 1) × π
    -0.0502471923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15785621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584754943847656 × 2 - 1) × π
    -0.169509887695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.532531017879204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15785621} λ = -0.15785621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532531017879204))-π/2
    2×atan(0.587117083703603)-π/2
    2×0.530892908557016-π/2
    1.06178581711403-1.57079632675     		φ = -0.50901051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15785621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.044495°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50901051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.164154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62243 KachelY 76645 -0.15785621 -0.50901051 -9.044495 -29.164154
    Oben rechts KachelX + 1 62244 KachelY 76645 -0.15780827 -0.50901051 -9.041748 -29.164154
    Unten links KachelX 62243 KachelY + 1 76646 -0.15785621 -0.50905237 -9.044495 -29.166552
    Unten rechts KachelX + 1 62244 KachelY + 1 76646 -0.15780827 -0.50905237 -9.041748 -29.166552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50901051--0.50905237) × R
    4.18600000000602e-05 × 6371000     		dl = 266.690060000383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50901051--0.50905237) × R
    4.18600000000602e-05 × 6371000     		dr = 266.690060000383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15785621--0.15780827) × cos(-0.50901051) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873227126823069 × 6371000     		do = 266.706041397989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15785621--0.15780827) × cos(-0.50905237) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.873206727117581 × 6371000     		du = 266.699810802845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50901051)-sin(-0.50905237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873227126823069-0.873206727117581)×R²
    abs(-0.15780827--0.15785621)×2.03997054885052e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.03997054885052e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.03997054885052e-05×40589641000000     		ar = 71127.0193744804m²