Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62241 / 39591
↖ ↑ ↗
← N 57.834517°
W  9.049988°		 ← 162.56 m → N 57.834517°
W  9.047241°		 →
↑
162.65 m
↓
↑
162.65 m
↓
N 57.833055°
W  9.049988°		 ← 162.57 m →
26 442 m²		 N 57.833055°
W  9.047241°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474864959716797 y=0.302059173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474864959716797 × 217)
    floor (0.474864959716797 × 131072)
    floor (62241.5)     		tx = 62241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302059173583984 × 217)
    floor (0.302059173583984 × 131072)
    floor (39591.5)     		ty = 39591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62241 / 39591 ti = "17/62241/39591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62241/39591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62241 ÷ 217
    62241 ÷ 131072     		x = 0.474861145019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39591 ÷ 217
    39591 ÷ 131072     		y = 0.302055358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474861145019531 × 2 - 1) × π
    -0.0502777099609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.15795208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302055358886719 × 2 - 1) × π
    0.395889282226562 × 3.1415926535     		Φ = 1.24372286064236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15795208} λ = -0.15795208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24372286064236))-π/2
    2×atan(3.46850220873851)-π/2
    2×1.29009953600273-π/2
    2.58019907200546-1.57079632675     		φ = 1.00940275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15795208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.049988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00940275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.834517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62241 KachelY 39591 -0.15795208 1.00940275 -9.049988 57.834517
    Oben rechts KachelX + 1 62242 KachelY 39591 -0.15790415 1.00940275 -9.047241 57.834517
    Unten links KachelX 62241 KachelY + 1 39592 -0.15795208 1.00937722 -9.049988 57.833055
    Unten rechts KachelX + 1 62242 KachelY + 1 39592 -0.15790415 1.00937722 -9.047241 57.833055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00940275-1.00937722) × R
    2.55300000000513e-05 × 6371000     		dl = 162.651630000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00940275-1.00937722) × R
    2.55300000000513e-05 × 6371000     		dr = 162.651630000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15795208--0.15790415) × cos(1.00940275) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.532366396804117 × 6371000     		do = 162.564483631896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15795208--0.15790415) × cos(1.00937722) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.532388008134057 × 6371000     		du = 162.571082911478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00940275)-sin(1.00937722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532366396804117-0.532388008134057)×R²
    abs(-0.15790415--0.15795208)×2.16113299403853e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16113299403853e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16113299403853e-05×40589641000000     		ar = 26441.9149361566m²