Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62240 / 39713
↖ ↑ ↗
← N 57.655688°
W  9.052734°		 ← 163.40 m → N 57.655688°
W  9.049988°		 →
↑
163.42 m
↓
↑
163.42 m
↓
N 57.654218°
W  9.052734°		 ← 163.41 m →
26 703 m²		 N 57.654218°
W  9.049988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474857330322266 y=0.302989959716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474857330322266 × 217)
    floor (0.474857330322266 × 131072)
    floor (62240.5)     		tx = 62240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302989959716797 × 217)
    floor (0.302989959716797 × 131072)
    floor (39713.5)     		ty = 39713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62240 / 39713 ti = "17/62240/39713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62240/39713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62240 ÷ 217
    62240 ÷ 131072     		x = 0.474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39713 ÷ 217
    39713 ÷ 131072     		y = 0.302986145019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302986145019531 × 2 - 1) × π
    0.394027709960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.23787455888871
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15800002} λ = -0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23787455888871))-π/2
    2×atan(3.4482765616797)-π/2
    2×1.28853895908631-π/2
    2.57707791817261-1.57079632675     		φ = 1.00628159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00628159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.655688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62240 KachelY 39713 -0.15800002 1.00628159 -9.052734 57.655688
    Oben rechts KachelX + 1 62241 KachelY 39713 -0.15795208 1.00628159 -9.049988 57.655688
    Unten links KachelX 62240 KachelY + 1 39714 -0.15800002 1.00625594 -9.052734 57.654218
    Unten rechts KachelX + 1 62241 KachelY + 1 39714 -0.15795208 1.00625594 -9.049988 57.654218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00628159-1.00625594) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dl = 163.416149999925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00628159-1.00625594) × R
    2.56499999999882e-05 × 6371000     		dr = 163.416149999925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15800002--0.15795208) × cos(1.00628159) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535005905216075 × 6371000     		do = 163.404574504977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15800002--0.15795208) × cos(1.00625594) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.535027575399448 × 6371000     		du = 163.41119313677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00628159)-sin(1.00625594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.535005905216075-0.535027575399448)×R²
    abs(-0.15795208--0.15800002)×2.16701833726241e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16701833726241e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16701833726241e-05×40589641000000     		ar = 26703.4872550967m²