Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62240 / 28192
↖ ↑ ↗
← N 71.045529°
W  9.052734°		 ← 99.21 m → N 71.045529°
W  9.049988°		 →
↑
99.20 m
↓
↑
99.20 m
↓
N 71.044637°
W  9.052734°		 ← 99.21 m →
9 841 m²		 N 71.044637°
W  9.049988°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474857330322266 y=0.215091705322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474857330322266 × 217)
    floor (0.474857330322266 × 131072)
    floor (62240.5)     		tx = 62240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215091705322266 × 217)
    floor (0.215091705322266 × 131072)
    floor (28192.5)     		ty = 28192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62240 / 28192 ti = "17/62240/28192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62240/28192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62240 ÷ 217
    62240 ÷ 131072     		x = 0.474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28192 ÷ 217
    28192 ÷ 131072     		y = 0.215087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474853515625 × 2 - 1) × π
    -0.05029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15800002
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215087890625 × 2 - 1) × π
    0.56982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79015557941138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15800002} λ = -0.15800002}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79015557941138))-π/2
    2×atan(5.99038437436327)-π/2
    2×1.4053873617481-π/2
    2.81077472349621-1.57079632675     		φ = 1.23997840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15800002} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.052734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23997840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.045529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62240 KachelY 28192 -0.15800002 1.23997840 -9.052734 71.045529
    Oben rechts KachelX + 1 62241 KachelY 28192 -0.15795208 1.23997840 -9.049988 71.045529
    Unten links KachelX 62240 KachelY + 1 28193 -0.15800002 1.23996283 -9.052734 71.044637
    Unten rechts KachelX + 1 62241 KachelY + 1 28193 -0.15795208 1.23996283 -9.049988 71.044637
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23997840-1.23996283) × R
    1.55699999999648e-05 × 6371000     		dl = 99.1964699997756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23997840-1.23996283) × R
    1.55699999999648e-05 × 6371000     		dr = 99.1964699997756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15800002--0.15795208) × cos(1.23997840) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.324816713297394 × 6371000     		do = 99.2073850232169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15800002--0.15795208) × cos(1.23996283) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.324831439005657 × 6371000     		du = 99.21188263356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23997840)-sin(1.23996283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324816713297394-0.324831439005657)×R²
    abs(-0.15795208--0.15800002)×1.4725708262664e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.4725708262664e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.4725708262664e-05×40589641000000     		ar = 9841.24546594357m²