Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6224 / 6292
↖ ↑ ↗
← S 68.974163°
E 93.515625°		 ← 1 753.22 m → S 68.974163°
E 93.559570°		 →
↑
1 752.60 m
↓
↑
1 752.60 m
↓
S 68.989925°
E 93.515625°		 ← 1 751.96 m →
3 071 590 m²		 S 68.989925°
E 93.559570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75982666015625 y=0.76812744140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75982666015625 × 213)
    floor (0.75982666015625 × 8192)
    floor (6224.5)     		tx = 6224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76812744140625 × 213)
    floor (0.76812744140625 × 8192)
    floor (6292.5)     		ty = 6292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6224 / 6292 ti = "13/6224/6292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6224/6292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6224 ÷ 213
    6224 ÷ 8192     		x = 0.759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6292 ÷ 213
    6292 ÷ 8192     		y = 0.76806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759765625 × 2 - 1) × π
    0.51953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63215556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76806640625 × 2 - 1) × π
    -0.5361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.68431090505029
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63215556} λ = 1.63215556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.68431090505029))-π/2
    2×atan(0.185572264816914)-π/2
    2×0.183485036736276-π/2
    0.366970073472551-1.57079632675     		φ = -1.20382625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63215556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20382625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.974163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6224 KachelY 6292 1.63215556 -1.20382625 93.515625 -68.974163
    Oben rechts KachelX + 1 6225 KachelY 6292 1.63292255 -1.20382625 93.559570 -68.974163
    Unten links KachelX 6224 KachelY + 1 6293 1.63215556 -1.20410134 93.515625 -68.989925
    Unten rechts KachelX + 1 6225 KachelY + 1 6293 1.63292255 -1.20410134 93.559570 -68.989925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20382625--1.20410134) × R
    0.000275089999999922 × 6371000     		dl = 1752.59838999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20382625--1.20410134) × R
    0.000275089999999922 × 6371000     		dr = 1752.59838999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63215556-1.63292255) × cos(-1.20382625) × R
    0.000766990000000023 × 0.35878889613588 × 6371000     		do = 1753.21953349454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63215556-1.63292255) × cos(-1.20410134) × R
    0.000766990000000023 × 0.358532108404729 × 6371000     		du = 1751.96474196931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20382625)-sin(-1.20410134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35878889613588-0.358532108404729)×R²
    abs(1.63292255-1.63215556)×0.000256787731151231×R²
    0.000766990000000023×0.000256787731151231×6371000²
    0.000766990000000023×0.000256787731151231×40589641000000     		ar = 3071590.17828431m²