Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 6224 / 6096
↖ ↑ ↗
← S 65.658274°
E 93.515625°		 ← 2 014.10 m → S 65.658274°
E 93.559570°		 →
↑
2 013.43 m
↓
↑
2 013.43 m
↓
S 65.676382°
E 93.515625°		 ← 2 012.70 m →
4 053 837 m²		 S 65.676382°
E 93.559570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.75982666015625 y=0.74420166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.75982666015625 × 213)
    floor (0.75982666015625 × 8192)
    floor (6224.5)     		tx = 6224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.74420166015625 × 213)
    floor (0.74420166015625 × 8192)
    floor (6096.5)     		ty = 6096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 6224 / 6096 ti = "13/6224/6096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/6224/6096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6224 ÷ 213
    6224 ÷ 8192     		x = 0.759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6096 ÷ 213
    6096 ÷ 8192     		y = 0.744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.759765625 × 2 - 1) × π
    0.51953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.63215556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744140625 × 2 - 1) × π
    -0.48828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5339807878418
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.63215556} λ = 1.63215556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5339807878418))-π/2
    2×atan(0.215675398174743)-π/2
    2×0.212421627631848-π/2
    0.424843255263695-1.57079632675     		φ = -1.14595307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.63215556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 93.515625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14595307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.658274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6224 KachelY 6096 1.63215556 -1.14595307 93.515625 -65.658274
    Oben rechts KachelX + 1 6225 KachelY 6096 1.63292255 -1.14595307 93.559570 -65.658274
    Unten links KachelX 6224 KachelY + 1 6097 1.63215556 -1.14626910 93.515625 -65.676382
    Unten rechts KachelX + 1 6225 KachelY + 1 6097 1.63292255 -1.14626910 93.559570 -65.676382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14595307--1.14626910) × R
    0.000316030000000023 × 6371000     		dl = 2013.42713000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14595307--1.14626910) × R
    0.000316030000000023 × 6371000     		dr = 2013.42713000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.63215556-1.63292255) × cos(-1.14595307) × R
    0.000766990000000023 × 0.412177977547995 × 6371000     		do = 2014.10492157411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.63215556-1.63292255) × cos(-1.14626910) × R
    0.000766990000000023 × 0.411890020977881 × 6371000     		du = 2012.69782372644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14595307)-sin(-1.14626910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412177977547995-0.411890020977881)×R²
    abs(1.63292255-1.63215556)×0.00028795657011399×R²
    0.000766990000000023×0.00028795657011399×6371000²
    0.000766990000000023×0.00028795657011399×40589641000000     		ar = 4053836.9810137m²