Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62238 / 40070
↖ ↑ ↗
← N 57.127296°
W  9.058227°		 ← 165.74 m → N 57.127296°
W  9.055481°		 →
↑
165.77 m
↓
↑
165.77 m
↓
N 57.125805°
W  9.058227°		 ← 165.75 m →
27 476 m²		 N 57.125805°
W  9.055481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474842071533203 y=0.305713653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474842071533203 × 217)
    floor (0.474842071533203 × 131072)
    floor (62238.5)     		tx = 62238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.305713653564453 × 217)
    floor (0.305713653564453 × 131072)
    floor (40070.5)     		ty = 40070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62238 / 40070 ti = "17/62238/40070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62238/40070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62238 ÷ 217
    62238 ÷ 131072     		x = 0.474838256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40070 ÷ 217
    40070 ÷ 131072     		y = 0.305709838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474838256835938 × 2 - 1) × π
    -0.050323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15809589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.305709838867188 × 2 - 1) × π
    0.388580322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.22076108572435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15809589} λ = -0.15809589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.22076108572435))-π/2
    2×atan(3.38976665511677)-π/2
    2×1.2839278652143-π/2
    2.5678557304286-1.57079632675     		φ = 0.99705940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15809589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.058227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99705940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.127296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62238 KachelY 40070 -0.15809589 0.99705940 -9.058227 57.127296
    Oben rechts KachelX + 1 62239 KachelY 40070 -0.15804796 0.99705940 -9.055481 57.127296
    Unten links KachelX 62238 KachelY + 1 40071 -0.15809589 0.99703338 -9.058227 57.125805
    Unten rechts KachelX + 1 62239 KachelY + 1 40071 -0.15804796 0.99703338 -9.055481 57.125805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99705940-0.99703338) × R
    2.6020000000071e-05 × 6371000     		dl = 165.773420000452m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99705940-0.99703338) × R
    2.6020000000071e-05 × 6371000     		dr = 165.773420000452m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15809589--0.15804796) × cos(0.99705940) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.542774395849936 × 6371000     		do = 165.742691348766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15809589--0.15804796) × cos(0.99703338) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.5427962493057 × 6371000     		du = 165.74936456438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99705940)-sin(0.99703338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.542774395849936-0.5427962493057)×R²
    abs(-0.15804796--0.15809589)×2.18534557638872e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.18534557638872e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.18534557638872e-05×40589641000000     		ar = 27476.2859074508m²