Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62238 / 39646
↖ ↑ ↗
← N 57.754007°
W  9.058227°		 ← 162.93 m → N 57.754007°
W  9.055481°		 →
↑
162.97 m
↓
↑
162.97 m
↓
N 57.752541°
W  9.058227°		 ← 162.93 m →
26 553 m²		 N 57.752541°
W  9.055481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474842071533203 y=0.302478790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474842071533203 × 217)
    floor (0.474842071533203 × 131072)
    floor (62238.5)     		tx = 62238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302478790283203 × 217)
    floor (0.302478790283203 × 131072)
    floor (39646.5)     		ty = 39646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62238 / 39646 ti = "17/62238/39646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62238/39646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62238 ÷ 217
    62238 ÷ 131072     		x = 0.474838256835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39646 ÷ 217
    39646 ÷ 131072     		y = 0.302474975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474838256835938 × 2 - 1) × π
    -0.050323486328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15809589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302474975585938 × 2 - 1) × π
    0.395050048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24108633116325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15809589} λ = -0.15809589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24108633116325))-π/2
    2×atan(3.45936944510748)-π/2
    2×1.28939695263684-π/2
    2.57879390527368-1.57079632675     		φ = 1.00799758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15809589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.058227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00799758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.754007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62238 KachelY 39646 -0.15809589 1.00799758 -9.058227 57.754007
    Oben rechts KachelX + 1 62239 KachelY 39646 -0.15804796 1.00799758 -9.055481 57.754007
    Unten links KachelX 62238 KachelY + 1 39647 -0.15809589 1.00797200 -9.058227 57.752541
    Unten rechts KachelX + 1 62239 KachelY + 1 39647 -0.15804796 1.00797200 -9.055481 57.752541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00799758-1.00797200) × R
    2.55799999999695e-05 × 6371000     		dl = 162.970179999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00799758-1.00797200) × R
    2.55799999999695e-05 × 6371000     		dr = 162.970179999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15809589--0.15804796) × cos(1.00799758) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.533555366966593 × 6371000     		do = 162.927549974319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15809589--0.15804796) × cos(1.00797200) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.533577001464285 × 6371000     		du = 162.934156328452m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00799758)-sin(1.00797200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533555366966593-0.533577001464285)×R²
    abs(-0.15804796--0.15809589)×2.16344976914362e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16344976914362e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16344976914362e-05×40589641000000     		ar = 26552.8704669604m²