Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62237 / 25885
↖ ↑ ↗
← N 72.999319°
W  9.060974°		 ← 89.30 m → N 72.999319°
W  9.058227°		 →
↑
89.32 m
↓
↑
89.32 m
↓
N 72.998515°
W  9.060974°		 ← 89.31 m →
7 977 m²		 N 72.998515°
W  9.058227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25885 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474834442138672 y=0.197490692138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474834442138672 × 217)
    floor (0.474834442138672 × 131072)
    floor (62237.5)     		tx = 62237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197490692138672 × 217)
    floor (0.197490692138672 × 131072)
    floor (25885.5)     		ty = 25885
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62237 / 25885 ti = "17/62237/25885"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62237/25885.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62237 ÷ 217
    62237 ÷ 131072     		x = 0.474830627441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25885 ÷ 217
    25885 ÷ 131072     		y = 0.197486877441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474830627441406 × 2 - 1) × π
    -0.0503387451171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.15814383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197486877441406 × 2 - 1) × π
    0.605026245117188 × 3.1415926535     		Φ = 1.90074600683485
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15814383} λ = -0.15814383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90074600683485))-π/2
    2×atan(6.6908840261307)-π/2
    2×1.42243739294975-π/2
    2.84487478589949-1.57079632675     		φ = 1.27407846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15814383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.060974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27407846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.999319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62237 KachelY 25885 -0.15814383 1.27407846 -9.060974 72.999319
    Oben rechts KachelX + 1 62238 KachelY 25885 -0.15809589 1.27407846 -9.058227 72.999319
    Unten links KachelX 62237 KachelY + 1 25886 -0.15814383 1.27406444 -9.060974 72.998515
    Unten rechts KachelX + 1 62238 KachelY + 1 25886 -0.15809589 1.27406444 -9.058227 72.998515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27407846-1.27406444) × R
    1.40199999998369e-05 × 6371000     		dl = 89.3214199989611m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27407846-1.27406444) × R
    1.40199999998369e-05 × 6371000     		dr = 89.3214199989611m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15814383--0.15809589) × cos(1.27407846) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.292383078948613 × 6371000     		do = 89.3013182514034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15814383--0.15809589) × cos(1.27406444) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.292396486263801 × 6371000     		du = 89.305413190566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27407846)-sin(1.27406444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292383078948613-0.292396486263801)×R²
    abs(-0.15809589--0.15814383)×1.34073151876746e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.34073151876746e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.34073151876746e-05×40589641000000     		ar = 7976.70343710238m²