Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62235 / 76695
↖ ↑ ↗
← S 29.284004°
W  9.066468°		 ← 266.39 m → S 29.284004°
W  9.063721°		 →
↑
266.37 m
↓
↑
266.37 m
↓
S 29.286399°
W  9.066468°		 ← 266.39 m →
70 959 m²		 S 29.286399°
W  9.063721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62235 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474819183349609 y=0.585140228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474819183349609 × 217)
    floor (0.474819183349609 × 131072)
    floor (62235.5)     		tx = 62235
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.585140228271484 × 217)
    floor (0.585140228271484 × 131072)
    floor (76695.5)     		ty = 76695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62235 / 76695 ti = "17/62235/76695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62235/76695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62235 ÷ 217
    62235 ÷ 131072     		x = 0.474815368652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76695 ÷ 217
    76695 ÷ 131072     		y = 0.585136413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474815368652344 × 2 - 1) × π
    -0.0503692626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.15823971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.585136413574219 × 2 - 1) × π
    -0.170272827148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.534927862860207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.15823971} λ = -0.15823971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534927862860207))-π/2
    2×atan(0.58571154017613)-π/2
    2×0.529847025214603-π/2
    1.05969405042921-1.57079632675     		φ = -0.51110228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.15823971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.066468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51110228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.284004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62235 KachelY 76695 -0.15823971 -0.51110228 -9.066468 -29.284004
    Oben rechts KachelX + 1 62236 KachelY 76695 -0.15819177 -0.51110228 -9.063721 -29.284004
    Unten links KachelX 62235 KachelY + 1 76696 -0.15823971 -0.51114409 -9.066468 -29.286399
    Unten rechts KachelX + 1 62236 KachelY + 1 76696 -0.15819177 -0.51114409 -9.063721 -29.286399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51110228--0.51114409) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dl = 266.371510000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51110228--0.51114409) × R
    4.1810000000031e-05 × 6371000     		dr = 266.371510000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.15823971--0.15819177) × cos(-0.51110228) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872205869537541 × 6371000     		do = 266.394123135826m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.15823971--0.15819177) × cos(-0.51114409) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.872185417875333 × 6371000     		du = 266.387876671762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51110228)-sin(-0.51114409))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872205869537541-0.872185417875333)×R²
    abs(-0.15819177--0.15823971)×2.04516622080986e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.04516622080986e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.04516622080986e-05×40589641000000     		ar = 70958.9729050833m²